6.3.2～ 6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示～平面向量数乘运算的坐标表示（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 （见学生用书P19） [学习目标]1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算（重点）.3.发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1.正交分解的定义 把一个向量分解为两个　互相垂直　的向量，叫做把向量作正交分解. 2.向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个　单位向量　分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝　xi＋yj　.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对　（x，y）　叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）. 3.向量的坐标表示 在向量a＝（x，y）的直角坐标平面中，　x　叫做a在x轴上的坐标，　y　叫做a在y轴上的坐标，　a＝（x，y）　叫做向量a的坐标表示. 4.在向量的直角坐标平面中，i＝　（1，0）　，j＝　（0，1）　，0＝（0，0）. 思考：（1）正交分解与平面向量基本定理有何联系？ （2）点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 提示（1）正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基底垂直时）. （2）区别：①表示形式不同，a＝（x，y），点A（x，y）；②意义不同，点A（x，y）表示点A在平面直角坐标系中的位置，而向量a＝（x，y）表示向量的大小、方向.联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同. 要点二　平面向量的坐标运算 设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R. 运算 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的　和　 a＋b＝　（x1＋x2， y1＋y2）　 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的　差　 a－b＝　（x1－x2， y1－y2）　 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝　（λx1，λy1）　 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的　终点　的坐标减去　起点　的坐标 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则＝　（x2－x1，y2－y1）　 要点三　两向量共线的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. （1）由于规定零向量与任一向量平行，所以a∥b⇔x1y2－x2y1＝0对任意向量都成立. （2）特别地，当x2y2≠0时，我们有　a∥b　⇔　　＝　　，其文字表述是“两个向量平行的条件是　相应的坐标　成比例”. 思考：已知向量a＝（x，y），与a共线的单位向量的坐标是什么？ 提示设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±（，）＝±（，），其中正号、负号分别表示与a同向和反向. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. （　　） （2）两向量差的坐标与两向量的顺序无关. （　　） （3）若把向量平移到，则和的坐标相同. （　　） （4）两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）平行的条件x1y2－x2y1＝0可以写成＝. （　　） 解析（1）正确，由平面向量的坐标表示的定义可得. （2）错误，两向量差的坐标与两向量的顺序有关. （3）正确，平面向量在平面内可自由平移. （4）错误，当x2y2≠0时，x1y2－x2y1＝0可以写成＝；当x2y2＝0时，x1y2－x2y1＝0不可以写成＝. 答案（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　　平面向量的坐标表示 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 向量的坐标的求法 （1）平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标. （2）求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标. 【例题1】如图，向量a，b，c的坐标分别是　　　　，　　　　，　　　　. 解析将各向量分别向基底i，j所在的直线分解，则a＝－4i＋0·j，b＝0·i＋6j，c＝－2i－5j，所以a＝（－4，0），b＝（0，6），c＝（－2，－5）. 答案（－4，0）　（0，6）　（－2，－5） 【变式1】已知O是坐标原点，点A在第一象限，｜｜＝4，∠xOA＝60°. （1）求向量的坐标； （2）若B（，－1），求的坐标. 解析（1）设点A（x，y），则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，即A（2，6），所以＝（2，6）. （2）＝－＝（2，6）－（，－1）＝（