7.5 多边形的内角和与外角和（十四大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）七年级下册数学《第7章 平面图形的认识（二）》 7.5 多边形的内角和与外角和 知识点一 三角形内角和定理 ★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ★2、三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． ★3、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点二 多边形及其相关概念 ★1、多边形的定义： 在平面内，由不在同一条直线上的3条或3条以上的线段首尾依次相接组成的图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. ★2、相关概念 (1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. (2)外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. (3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. ▲n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数） 知识点三 多边形的内角和 ★1、多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） ★2、多边形内角和公式的常见应用 (1)已知多边形的边数，求内角和； (2)已知多边形的内角和，求边数； (3)求正n 边形每个内角的度数， 其公式为； (4)已知n 边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数． ★3、多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 知识点四 多边形的外角和 ★1、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°． 【注意】 （1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. （2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. （3）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． ★2、常见应用 （1）已知外角度数求正多边形的边数； （2）已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为 . 题型一 直接运用三角形内角和定理求角的度数 【例题1】（2023秋•钟山区期末）如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，若∠A＝40°，∠D＝50°，则∠ACB的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．105° 解题技巧提炼 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 【变式1-1】（2023春•驿城区期中）如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　． 【变式1-2】已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，则∠A的度数为 　 　． 【变式1-3】（2023秋•东平县校级月考）已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是 　 　． 【变式1-4】在△ABC中，已知∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，则∠A＝　 　，∠B＝　 　，∠C＝　 　． 【变式1-5】（2022春•电白区期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝∠1，∠3＝∠C，求∠A的度数． 题型二 三角形内角和定理与平行线 【例题2】（2023•长沙一模）如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（　　） A．105° B．85° C．80° D．75° 解题技巧提炼 主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理来解决问题. 【变式2-1】（2022•桑植县模拟）如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是 　 　． 【变式2-2】（2023秋•郓城县期末）如图，已知a∥b，在Rt△ABC中∠A＝60°，∠C＝90°．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式2-3】（2023秋•玉林期末）如图，将△ABC沿AB方向平移，到达△BDE，若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠ABC的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【变式2-4】（2023•中原区三模）物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜被为Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝13°，小木块△DEF在斜坡AB上，且DE∥BC，EF∥AC，则∠DFE的度数为（　　） A．13° B．77° C．87° D．63