立体几何中的最值范围问题 讲义-2024届高三数学二轮复习微专题

最值范围问题 题型一：体积、面积最值与范围问题 【例1】(多选题)如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是(     ) A．面积的最大值为 B．存在某个位置，使得 C．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为. 【变式训练】 1． 在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部(包含边界)，且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为(     ) A． B． C． D． 2．在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是(    ) A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点．过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 4．某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是(     ) A． B． C． D． 5．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 6．正方体的棱长为2，底面内(含边界)的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为 . 7．如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接(球心O在圆柱内部)，已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为(     ) A． B． C． D． 8．、为两条直线，为两个平面，满足：与的夹角为与之间的距离为2．以为轴将旋转一周，并用截取得到两个同顶点(点在平面与之间)的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 题型二：周长、距离最值范围问题 【例2】已知三棱锥的所有棱长均为2，点M为边上一动点，若且垂足为N，则线段长的最小值为(     ) A． B． C． D．1 【变式训练】 1．已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论： ①线段的长度为；②点到面的距离范围为； ③周长的最小值为；④的余弦值的取值范围为． 其中正确结论的个数为(       ) A． B． C． D． 2．已知圆锥，底面的面积为，母线与底面所成角的余弦值为，点在底面圆周上，当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为(     ) A．2 B． C． D． 3．在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点(点与不重合)，有以下四个结论： ①存在点，使得平面平面； ②存在点，使得平面； ③若的周长为L，则L的最小值为； ④若的面积为，则． 则正确的结论为(       ) A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 4．(多选题)已知为等腰直角三角形，，其高，为线段的中点，将沿折成大小为的二面角，连接，形成四面体，动点在内(含边界)，且平面，则在变化的过程中(    ) A． B．点到平面的距离的最大值为 C．点在内(含边界)的轨迹长度为 D．当时，与平面所成角的正切值的取值范围为 5．在棱长为的正方体中，动点在平面上运动，且，三棱锥外接球球面上任意一点到点到的距离记为，当平面与平面夹角的正切值为时，则的最大值为_________. 6．(多选题)正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是(    ) A．若，则到直线的距离的最小值为 B．若，则，且直线平面 C．若，则与平面所成角正弦的最小值为 D．若，，则，两点之间距离的最小值为 7．（多选题）已知点A为圆台下底面圆上的一点，S为上底面圆上一点，且，，，则下列说法正确的有（    ） A．直线SA与直线所成角最小值为 B．直线SA与直线所成角最大值为 C．圆台存在内切球，且半径为 D．直线与平面所成角正切值的最大值为 题型三：空间线段以及线段之和最值问题 【例3】已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 【变式训练】 1