立体几何中的截面问题 讲义-2024届高三数学二轮复习微专题

截面问题 题型一：截面面积 【例1】正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为( ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为(   ) A． B． C． D． 2．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．    3．在三棱锥中，，，过点作平面与，分别交于，两点，若与平面所成的角为30°，则截面面积的最小值是_________． 4．(多选题)已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，P为正方体的内切球上任意一点，则(     ) A．球被截得的弦长为 B．的范围为 C．与所成角的范围是 D．球被四面体表面截得的截面面积为 题型二：截面周长 【例2】已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为(     ) A．6 B．10 C． D． 【变式训练】 1．如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为(    ) A． B． C． D． 2．在正方体中，，为棱的四等分点(靠近点)，为棱的四等分点(靠近点)，过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是(     ) A． B． C． D． 3．已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则以为球心，2为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为(     ) A． B． C． D． 4．在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 5．已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为___________． 题型三：球截面问题 【例3】(多选题)已知球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆的面积可能是( ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为(     )    A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为(     ) A． B． C． D． 3．已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且．过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为(       ) A． B． C． D． 4．已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为(       ) A． B． C． D． 5．在三棱锥中，是等边三角形，，，且，点是棱的中点，则平面截三棱锥外接球所得截面的面积为(     ) A． B． C． D． 6．已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为(     ) A． B． C． D． 题型四：圆锥截面 【例4】已知圆锥体积为，高为4，过顶点作截面，若平面与底面所成的锐二面角的余弦值为，圆锥被平面截得的两个几何体设为．若的体积为(其中)，则___________． 【变式训练】 1．圆锥的底面半径为，母线与底面成45°角，过圆锥顶点S作截面SAB，且与圆锥的高SO成30°角，则底面圆心O到截面SAB的距离是______． 【巩固练习】 1．如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB＝1，E，F分别是AD，BC的中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．1 2．已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为 A． B． C．2 D． 4．(多选题)如图甲，在矩形中，，为的中点．将沿直线翻折至的位置，为的中点，如图乙所示，则(     ) A．翻折过程中，四棱锥必存在外接球，不一定存在内切球 B．翻折过程中，不存在任何位置的，使