立体几何中球的切接问题 讲义-2024届高三数学二轮复习微专题

第1讲 立体几何球的切接问题 类型一：补成长方体 (1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． (2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． (3)正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． (4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 【例1】棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内 任意转动，则x的最大值为(          ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为(     )    A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是(    ) A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为(     )   A． B． C． D． 4．在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为(     ) A． B． C． D． 题型二：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形) 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，(也是圆柱的高)； 第三步：勾股定理：，解出 【例2】设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是(       ) A． B． C． D． 【变式训练】 1． 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是(    ) A． B． C． D． 2．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为(    ) A． B． C． D． 3．已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为(   ) A． B． C． D． 4．体积为的直三棱柱中，，，则此三棱柱外接球的表面积的最小值为 ． 题型三：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 【例3】已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为(    ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是(       ) A． B． C． D． 2．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 3．已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD ，，，，则球O的表面积为(    ) A． B． C． D． 4．已知三棱锥中，，，，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 5．在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 题型四：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： (1)找出和的外接圆圆心，分别记为和． (2)分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． (3)过作的垂线，垂足记为，连接，则． (4)在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 【例4】已知在三棱锥中， ，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为__________． 【变式训练】 1．在边长为菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则　　 A． B． C． D．3 2．已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 3．在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为(       ) A．60π B．45π C．30π D．20π 4．已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面面，，且直线