立体几何中的动点轨迹问题 讲义-2024届高三数学二轮复习微专题

轨迹问题 题型一：由动点保持平行求轨迹 【例1】(多选题)已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是(       ) A．点Q的轨迹为线段 B．与CD所成角的范围为 C．的最小值为 D．二面角的正切值为 【变式训练】 1．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，平面，则的最小值是(    ) A．2 B． C． D．3 2．如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，点P是侧面上的动点，且．平面，则线段MP长度的取值范围为(     ) A． B． C． D． 3．(多选题)如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则(       ) A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为 C．存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足 题型二：由动点保持垂直求轨迹 【例2】直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________． 【变式训练】 1．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为(       ) A． B． C． D． 2．已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________． 3．(多选题)已知棱长为4的正方体中，，点P在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论正确的是(       ) A．点P的轨迹所围成图形的面积为5 B．点P的轨迹过棱上靠近的四等分点 C．点P的轨迹上有且仅有两个点到点C的距离为6 D．直线与直线MP所成角的余弦值的最大值为 题型三：由动点保持等距(或定长)求轨迹 【例3】正方体的棱长为1，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是(    ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为(       ) A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为，过顶点的平面为，点是平面内的动点，，则点的轨迹长度等于(       ) A． B． C． D． 3．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为(    ) A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形的面积，则点P的轨迹长度为( ) A． B． C． D． 5．(多选题)直四棱柱中，底面为菱形，，，P为中点，点在四边形内(包括边界)运动，下列结论正确的是(     ) A．若，且，则四面体的体积为定值 B．若平面，则的最小值为 C．若的外心为，则为定值2 D．若，则点的轨迹长度为 6．(多选题)在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点分别为棱的中点，则下列说法正确的是(     ) A．平面 B．直线和直线所成的角为 C．过点的平面与四棱锥表面交线的周长为 D．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆 7．(多选题)在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内(包括边界)，平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则(       ) A．点P的轨迹的长度为 B．点Q的轨迹的长度为 C．PQ长度的最小值为 D．PR长度的最小值为 题型四：由动点保持等角(或定角)求轨迹 【例4】已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________． 【变式训练】 1．(多选题)如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点(含边界)，是棱的中点，则下列结论正确的是(       ) A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为 B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 C．三棱锥的体积最大值为 D．若点满足，则点的轨迹为线段 2．(多选题)如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动(包含边界)，且AP与平面所成角的正切值为，则(     ) A．CP长度的最小值为 B．存在点P，使得 C．存在点P，存在点，使得 D．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为 3．(多选题)已知为圆锥底面圆的直径(为顶点，为圆