18.2.3 正方形 讲义2023-2024学年人教版八年级数学下册

2023-2024学年人教版八年级下学期《18.2.3 正方形》同步练习与讲义 考点1正方形的定义和性质 考点精讲 1．正方形的定义 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质 （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 1.如图，正方形的边长为2，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为　　 A． B． C．0.5 D．1 2.面积相等的正方形与长方形按如图叠放，已知，，，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 3.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，DE、AF交于点G，连接CG．若∠BCG＝α，则∠ADE的度数为（　　） A． B． C．90°﹣2α D． 考点2正方形的判定 考点精讲 （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 1.如图，在中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．若，求证：四边形是正方形． 2.如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，则　　时，四边形是正方形． 3.如图，在矩形中，点在对角线上，点在边上（点与点、不重合），，． （1）求的度数； （2）求证：四边形是正方形． 考点3在直角坐标系中解决正方形问题 考点精讲 在直角坐标系中解决正方形问题，基本方法是把线段的长度与线段端点的坐标相互转化，把平行线段与线段端点的坐标的特征相互转化． 1.如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，4），点P为线段OB上一个动点，连接AP，以AP为边在第一象限构造正方形APMQ，连接BM，当BM有最小值时，点Q的坐标为（　　） A．（，2） B．（3，2） C．（﹣1，2） D．（2﹣1，2） 2.在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标是，顶点的坐标是，则顶点的坐标是　　 A． B．或 C． D．或 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 考点4正方形综合 考点精讲 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，特殊之处在于矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具菱形、矩形特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形． 1.如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 2.如图，在正方形和中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，连接并延长，交于点．请证明： （1）四边形是矩形． （2）当时，四边形是正方形． 3.如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，点为的中点，直接写出的长． 技能提升 一、选择题（共3小题） 1．如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是　　 A．矩形是正方形 B． C．平分 D． 2．如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有　　 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 3．小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件： ①； ②； ③； ④中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形． 现有下列四种选法你认为错误的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题（共2小题） 4．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接