专项复习三、 几何综合题-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（人教版）

九年级下册 （人教版）数学 知识准备 1. 具有一定的空间想象能力， 能够识别复杂的图形 . 2. 能准确地画出旋转后的图形 . 3. 能够把复杂图形分离成几何基本图形， 把多个基本图形综合起来发现结论， 形成逻辑 思维能力 . 例题解析 【例题】 如图 1 ， 在 Rt△ABC 中， ∠A=90° ， AB=AC ， 点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， AD=AE ， 连接 DC ， 点 M ， P ， N 分别为 DE ， DC ， BC 的中点 . （ 1 ） 观察猜想 图 1 中， 线段 PM 与 PN 的数量关系是 ， 位置关系是 . （ 2 ） 探究证明 把 △ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置， 连接 MN ， BD ， CE ， 判断 △PMN 的形 状， 并说明理由 . （ 3 ） 拓展延伸 把 △ADE 绕点 A 在平面内自由旋转， 若 AD=4 ， AB=10 ， 请直接写出 △PMN 面积的最 大值 . 【解】 （ 1 ） PM=PN ， PM⊥PN. 三、 几何综合题 （一） 几何图形变换综合题 例题图 图 1 图 2 A E M B C D N P E M A B C D N P 128 专 项 复 习 （ 2 ） 等腰直角三角形 . 理由如下： 由旋转可得 ∠BAD=∠CAE. 又 ∵AB=AC ， AD=AE ， ∴△BAD≌△CAE. ∴BD=CE ， ∠ABD=∠ACE. ∵ 点 M ， P 分别为 DE ， DC 的中点， ∴PM 是 △DCE 的中位线， ∴PM= 1 2 CE ， 且 PM∥CE. 同理可证 PN= 1 2 BD ， 且 PN∥BD. ∴PM=PN ， ∠MPD=∠ECD ， ∠PNC=∠DBC. ∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD ， ∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN ， ∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90° ， 即 △PMN 为等腰直角三角形 . （ 3 ） 49 2 . 解析： 把 △ADE 绕点 A 旋转到如图所示的位置， 此时 PN= 1 2 （ AD+AB ） =7 ， PM= 1 2 （ AE+ AC ） =7 ， 且 PN ， PM 的值最长， 由 （ 2 ） 可知 PM=PN ， PM⊥PN ， 所以 △PMN 面积的最大值 为 1 2 ×7×7= 49 2 . 【点拨】 此题考查三角形中位线定理、 三角形全等、 等腰直角三角形的性质 . 解这道题的 关键是在旋转过程中找到 PM ， PN 的最大值， 从而使问题得到解决 . E M A B C D N P 例题答图 129 九年级下册 （人教版）数学 专题精练 1. （ 2022 ·新疆） 如图， 在 △ABC 中， ∠ABC=30° ， AB=AC ， 点 O 为 BC 的中点， 点 D 是 线段 OC 上的动点 （点 D 不与点 O ， C 重合）， 将 △ACD 沿 AD 折叠得到 △AED ， 连接 BE. （ 1 ） 当 AE⊥BC 时， ∠AEB= °. （ 2 ） 探究 ∠AEB 与 ∠CAD 之间的数量关系， 并给出证明 . （ 3 ） 设 AC=4 ， △ACD 的面积为 x ， 以 AD 为边长的正方形的面积为 y ， 求 y 关于 x 的函 数解析式 . O D A B C E O D A B C E 第 1 题图 备用图 130 专 项 复 习 2. （ 2022 ·绍兴） 如图， 在 △ABC 中， ∠ABC=40° ， ∠ACB=90° ， AE 平分 ∠BAC 交 BC 于点 E. P 是边 BC 上的动点 （不与 B ， C 重合）， 连接 AP ， 将 △APC 沿 AP 翻折得 △APD ， 连 接 DC ， 记 ∠BCD=α. （ 1 ） 如图， 当 P 与 E 重合时， 求 α 的度数 . （ 2 ） 当 P 与 E 不重合时， 记 ∠BAD=β ， 探究 α 与 β 的数量关系 . 第 2 题图 备用图 （ P ） D A B C E A B C E 131 九年级下册 （人教版）数学 3. （ 2022 ·海南） 如图 1 ， 矩形 ABCD 中， AB=6 ， AD=8 ， 点 P 在边 BC 上， 且不与点 B ， C 重合， 直线 AP 与 DC 的延长线交于点 E. （ 1 ） 当点 P 是 BC 的中点时， 求证： △ABP≌△ECP. （ 2 ） 将 △APB 沿直线 AP 折叠得到 △APB′ ， 点 B′ 落在矩形 ABCD 的内部， 延长 PB′ 交直 线 AD 于点 F. ① 证明 FA=FP ， 并