专项复习二、 动态问题 -【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（人教版）

专 项 复 习 动态几何问题， 通过点、 线、 形的运动， 图形的平移、 旋转、 对称等来探究图形有关性 质和图形之间的函数关系， 以及对运动过程中特殊位置图形具有的特殊性问题等进行考查 . 解决动态问题的方法是： ① 研究基本图形， 分析运动状态， 确定分段 . 分段关键是找状态转折点 . 动态问题状态 转折点通常是折线转折或动点相遇处； 图形运动问题状态转折点通常是与顶点的交点 . ② 画图， 画出分段后每种状态的准确图形， 准确画出图形是解决问题的关键 . ③ 借助几何特征建立等式 . 解决动态几何问题需要注意线段长度的表达 . 线段长度表达 的方法有 s=vt 、 线段和差、 边角关系、 勾股定理及相似 . 对于复杂的动态几何问题， 如起始 时刻不同、 往返运动、 运动过程中速度变化等类型， 需注意： 表达线段长时要找准对应的速 度和时间 . （一） 点 移 动 知识准备 点运动有一个点运动、 两个点运动的题型， 两个点运动时有同时运动、 不同时运动， 速 度有相同也有不同， 因此做题首先要弄清运动方向、 速度、 运动起点 . 研究运动过程中的函 数关系时， 要分段讨论， 分段的原则是在不同线段运动分不同的段， 然后用时间 t 表示线段 长度 （用相似三角形、 三角函数）， 利用相关等式求出函数关系式 . 研究运动过程中形成的特 殊关系注意分情况讨论 . 例题解析 【例题】 如图， 在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AD=3 ， DC=5 ， BC=10 ， 梯形的高为 4. 动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动， 动点 N 同时从 C 点出 发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动 . 设运动的时间为 t （ s ） . （ 1 ） 当 MN∥AB 时， 求 t 的值 . （ 2 ） 试探究： t 为何值时， △MNC 为等腰三角形？ 二、 动 态 问 题 M N A B C D 例题图 113 九年级下册 （人教版）数学 【解】 （ 1 ） 由题意知， 当 M ， N 运动 t s 时， 如图 1 ， 过 D 作 DE∥AB 交 BC 于 E 点， 则四边形 ABED 是平行四边形 . ∵AB∥DE ， AB∥MN ， ∴DE∥MN. ∴ MC EC = NC CD . ∴ 10-2t 10-3 = t 5 . 解得 t= 50 17 . （ 2 ） ① 当 MN=NC 时， 如图 2 ， 过 N 作 NF⊥BC 交 BC 于点 F ， 则有 MC=2FC. ∵sinC= 4 5 ， ∴cosC= 3 5 . ∴10-2t=2× 3t 5 ， 解得 t= 25 8 . ② 当 MN=MC 时， 如图 3 ， 过 M 作 MH⊥CD 于点 H ， 则 CN=2CH ， ∴t=2 （ 10-2t ） × 3 5 ， 解得 t= 60 17 . ③ 当 MC=CN 时， 则 10-2t=t ， 解得 t= 10 3 . 综上所述， 当 t= 25 8 ， 60 17 或 10 3 时， △MNC 为等腰三角形 . 【点拨】 利用梯形内辅助线的常用作法， 成功将 MN 放在三角形内， 将动态问题转化成 平行时的静态问题， 平行线分线段成比例关系就是将静态与动态联系起来的关键 . 利用等腰 三角形底边上的高也是底边中线的性质建立等式、 列出方程， 使问题简单化 . 例题答图 A D C M N B E 图 1 图 2 图 3 M N A B C D F M N A B C D H 114 专 项 复 习 专题精练 1. （ 2023 ·苏州） 某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道 AB ， 长度为 1 m 的 金属滑块在上面做往返滑动 . 如图， 滑块首先沿 AB 方向从左向右匀速滑动， 滑动速度为 9 m/s ， 滑动开始前滑块左端与点 A 重合， 当滑块右端到达点 B 时， 滑块停顿 2 s ， 然后再以 小于 9 m/s 的速度匀速返回， 直到滑块的左端与点 A 重合， 滑动停止 . 设时间为 t （ s ） 时， 滑块左端离点 A 的距离为 l 1 （ m ）， 右端离点 B 的距离为 l 2 （ m ）， 记 d＝l 1 -l 2 ， d 与 t 具有函数 关系， 已知滑块在从左向右滑动过程中， 当 t＝4.5 s 和 5.5 s 时， 与之对应的 d 的两个值互为 相反数； 滑块从点 A 出发到最后返回点 A ， 整个过程总用时 27 s （含停顿时间） . 请你根据所 给条件解决下列问题： （ 1 ） 滑块从点 A 到点 B 的滑动过程中， d 的值 . （填 “由负到正” 或 “由正 到负”） （ 2 ） 滑块从点 B