模拟试题一-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册初中数学同步练习（北师大版）

第一部分 选择题 （共 30 分） 一、 选择题 （本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的） 1. 人们通常把水结冰的温度记为 0 ℃ ， 而比水结冰时的温度高 1 ℃ 记为 +1 ℃ ， 那么 比水结冰时的温度低 2 ℃ 应记为 （ ） A. -2 ℃ B. -1 ℃ C. 1 ℃ D. 2 ℃ 2. 先贤孔子曾说过 “鼓之舞之”， 这是 “鼓舞” 一词最早的起源 . 如图是喜庆集会时 击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形， 该立体图形的主视图是 （ ） 3. 下面图形是用数学家名字命名的， 其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （ ） 4. 下列运算中， 结果正确的是 （ ） A. 2m 2 +m 2 ＝3m 4 B. m 2 · m 4 ＝m 8 C. m 4 ÷m 2 ＝m 2 D. （ m 2 ） 4 ＝m 6 5. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 -2x-k＝0 没有实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） A. k＞-1 B. k＜-1 C. k≥-1 D. k≤-1 6. 在下列一次函数中， 其图象过点 （ -1 ， 3 ） 且 y 随 x 的增大而减小的是 （ ） A. y=2x+5 B. y=x+2 C. y=-2x+1 D. y=-x+1 7. 若关于 x 的方程 m+1 x-2 - 2x 2-x ＝0 有增根， 则 m 的值为 （ ） A. -5 B. 0 C. 1 D. 2 模拟试题（一） （本试卷共 23 道题， 满分 120 分， 考试时间 120 分钟） 模拟试题 （一） 正面 A B C D 第 2 题图 A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 斐波那契螺旋线 D. 科克曲线 189 九年级下册 （北师大版）数学 8. 我国南宋数学家杨辉在 《田亩比类乘除捷法》 中记录了这样的一个问题： “直田 积八百六十四步， 只云长阔共六十步， 问长多阔几何 . ” 其大意是： 矩形面积是 864 平方 步， 其中长与宽和为 60 步， 问长比宽多多少步 . 若设长为 （ 30+x ） 步， 则下列符合题意 的方程是 （ ） A. （ 60-x ） x＝864 B. 60-x 2 · 60+x 2 =864 C. （ 60+x ） x＝864 D. （ 30+x ）（ 30-x ） ＝864 9. 某同学制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度， 方法如下： 将刻度重新设计的 量角器固定在等腰直角三角板上， 使量角器的 90° 刻度线与三角板的底边平行 . 将用细线 和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点 O 处， 现将三角板底边紧贴被测物体表面， 如图所示， 此时重锤线在量角器上对应的刻度为 32° ， 那么被测物体表面的倾斜角 α 的度 数为 （ ） A. 24° B. 32° C. 36° D. 58° 10. 如图 1 ， 在矩形 ABCD （ AB＞AD ） 中， 动点 P 从点 B 出发， 沿 B→C 做匀速运动， 到达点 C 后停止运动， 动点 Q 从点 D 出发， 沿 D→C 以同样的速度做匀速运动， 到达点 C 后也停止运动 . 已知点 P ， Q 同时开始运动， 连接 AP ， AQ ， 设 DQ＝x ， AP-AQ＝y ， 其中 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示， 则图中 m 的值为 （ ） A. 3 5 姨 -3 2 姨 B. 10 姨 -2 C. 4 10 姨 -2 D. 2 10 姨 -2 第二部分 非选择题 （共 90 分） 二、 填空题 （本题共 5 小题， 每小题 3 分， 共 15 分） 11. 计算： 12 姨 × 1 3 姨 ＝ . 12. “敬老爱老” 是中华民族的优秀传统美德 . 小刚、 小强计划利用暑期从 A ， B ， C 三家养老服务中心中， 随机选择一家参加志愿服务活动， 则两人恰好选到同一家的概率 是 . 13. 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为 （ 4 ， 0 ）， B 为第一象限内一点， 且 A B P C Q D y x m O 2 姨 2 姨 90° O 90° 45° 45° 0° α 第 9 题图 图 1 图 2 第 10 题图 190 OB⊥AB ， OB＝2. 将 △OAB 沿 x 轴向右平移得到 △O′A′B′ ， O′B′ 与 AB 交于点 C ， 若 OO′＝ 1 ， 则 AC 的长为 . 14. 如图， A ， B 是双曲线 y＝ k x 上的两点， 过 A 点作 AC⊥x 轴， 交 OB 于点 D ， 垂足 为点 C ， 若 △ADO 的面积为 1 ， D 为 OB 的中点， 则 k 的值为 . 15. 如图， ∠POQ=90° ， 定长为 a 的线段端点 A ， B 分别在射线 OP ， OQ 上运动 （点 A ， B 不与点 O 重合）， C 为 AB 的中点， 作 △OAC 关于直线 OC 对称的 △OA′C ， A′O 交 AB 于点 D ， 当 △OBD 是等腰三角形时， ∠OBD 的度数为 . 三、 解答题 （本题共 8 小题， 共 75 分 . 解答应写出文字说明、 演算步骤或推理过程） 16. 计算 （每题 5 分， 共 10 分） （ 1 ） （ -3 ） 2 +|1- 3 姨 |+3× （ -4 ）； （ 2 ） a 2 -3a+1 a + + ' 1 ÷ a 2 -1 a . 17. （本小题 8 分） 君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的 A ， B 两种型号的毛笔 . 若购买 3 支 A 种型 号的毛笔和 1 支 B 种型号的毛笔需用 22 元； 若购买 2 支 A 种型号的毛笔和 3 支 B 种型号 的毛笔需用 24 元 . （ 1 ） 求每支 A 种型号的毛笔和每支 B 种型号的毛笔各多少元； （ 2 ） 君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共 80 支， 总费用不超过 420 元， 那么该 中学最多可以购买多少支 A 种型号的毛笔？ 模拟试题 （一） B y O A D C x 第 14 题图 C A′ Q D B O A P 第 15 题图 B y x B′ A A′O′ C O 第 13 题图 191 九年级下册 （北师大版）数学 18. （本小题 9 分） 某校开展了 “中国共产党党史” 知识竞赛 （百分制）， 七、 八年级学生参加了本次活 动 . 为了解两个年级的答题情况， 该校从每个年级各随机抽取了 30 名学生的成绩， 并对 数据 （成绩） 进行了整理、 描述和分析 . 下面给出了部分信息 . a. 七年级成绩的频数分布直方图如下 （数据分成五组： 50≤x＜60 ， 60≤x＜70 ， 70≤x＜ 80 ， 80≤x＜90 ， 90≤x≤100 ） . b. 七年级成绩在 80≤x＜90 的数据如下 （单位： 分）： 80 ， 81 ， 85 ， 85 ， 85 ， 85 ， 85 ， 85 ， 85 ， 85 ， 88 ， 89. c. 七、 八年级各抽取的 30 名学生成绩的平均数、 中位数、 众数、 方差如表： 根据以上信息， 回答下列问题： （ 1 ） 求表中 m ， n 的值 . （ 2 ） 下列推断是否合理？ 请说明理由 . ① 样本中两个年级数据的平均数相同， 八年级数据的方差较小， 由此可以推断该校 八年级学生成绩的波动程度较小； ② 若八年级小明同学的成绩是 84 分， 可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上 学生的成绩 . （ 3 ） 竞赛成绩 80 分及以上记为优秀， 该校七年级有 600 名学生， 估计七年级成绩优 秀的学生人数 . 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80.4 m n 141.04 八年级 80.4 83 84 86.10 第 18 题图 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 50 60 70 80 90 100 成绩 / 分 频数 192 19. （本小题 8 分） “漏壶” 是一种古代计时器 . 在社会实践活动中， 某小组同学根据 “漏壶” 的原理制 作了如图 1 所示的液体漏壶 . 该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的， 中间连通， 液体可 以从圆锥形容器中匀速漏到圆柱形容器中， 实验开始时圆柱形容器中已有一部分液体 . （ 1 ） 下表是实验记录的圆柱形容器液面高度 y （ cm ） 与时间 x （ h ） 的数据： 在如图 2 所示的直角坐标系中描出上表的各点， 用光滑的线连接 . （ 2 ） 请根据 （ 1 ） 中的数据确定 y 与 x 之间的函数表达式 . （ 3 ） 如果本次实验记录的开始时间是上午 9 ： 00 ， 那么当圆柱形容器液面高度达到 12 cm 时是几点？ 模拟试题 （一） 时间 x/h 1 2 3 4 5 圆柱形容器液面高度 y/cm 6 10 14 18 22 22 y/cm 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x/h 图 1 图 2 第 19 题图 193 九年级下册 （北师大版）数学 20. （本小题 8 分） 如图， 某小区打算在一块长 23 m 、 宽 8.8 m 的矩形空地中设置两排平行四边形倾斜 式停车位若干个 （按此方案规划车位， 相邻车位间隔线的宽度忽略不计） . 已知规划的倾 斜式停车位每个车位长 5 m 、 宽 3 m ， 中间安全空间距离不小于 0.8 m ， 请你通过计算说 明这块矩形空地最多可以设置停车位多少个 . 21. （本小题 8 分） 如图， A ， B ， C 三点在 ⊙O 上， 直径 BD 平分 ∠ABC ， 过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于 点 E ， 在 BC 的延长线上取一点 F ， 使得 ∠BFD＝∠ADB. （ 1 ） 求证： DF 是 ⊙O 的切线； （ 2 ） 若 AD＝4 ， DE＝5 ， 求 DF 的长 . 车位 5 m … 3 m 车位 … 安全空间 第 20 题图 B O A D E C F 第 21 题图 194 22. （本小题 12 分） 某数学兴趣小组在数学课外活动中， 对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （ 1 ） 如图 1 ， 在正方形 ABCD 中， 点 E ， F 分别是 AB ， AD 上的两点， 连接 DE ， CF ， DE⊥CF ， 求证： △AED≌△DFC. 【类比探究】 （ 2 ） 如图 2 ， 在矩形 ABCD 中， AD＝7 ， CD＝4 ， 点 E 是边 AD 上一点， 连接 CE ， BD ， 且 CE⊥BD ， 求 CE BD 的值 . 【拓展延伸】 （ 3 ） 如图 3 ， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB＝90° ， 点 D 在 BC 边上， 连接 AD ， 过点 C 作 CE⊥AD 于点 E ， CE 的延长线交 AB 边于点 F. 若 AC＝3 ， BC＝4 ， BF= 8 3 ， 求 CD 的值 . 模拟试题 （一） A D C B E F A B E D C E F C D B A 图 1 图 2 图 3 第 22 题图 195 九年级下册 （北师大版）数学 23. （本小题 12 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A ， B 的坐标分别为 （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 2 ）， 经过 A ， B 作 y 轴的垂线分别交 y 轴于 D ， C 两点， 得到正方形 ABCD ， 抛物线 y＝x 2 +bx+c 经过 A ， C 两点， 点 P 为抛物线上一点 （不与点 A 重合）， 过点 P 分别作 PF∥x 轴交 y 轴于点 F ， PE∥y 轴交 x 轴于点 E ， 设点 P 的横坐标为 m. （ 1 ） 求抛物线的表达式 . （ 2 ） 当 m＜0 时， 抛物线在矩形 PFOE 内部的部分的 y 值随 x 发生怎样的变化？ （ 3 ） 当 P 点在第一象限， 矩形 PFOE 与正方形 ABCD 重叠部分图形的周长为 l. ① 若 x≥m 时， 函数 y＝x 2 +bx+c 的最小值为 2m ， 求 m 的值； ② 当 m＜2 时， 求 l 与 m 之间的函数关系式 . F y P B C D A O E x 第 23 题图 196 第一部分 选择题 （共 30 分） 一、 选择题 （本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中是负数的是 （ ） A. 2 B. 0 C. -5 D. 5 姨 2. 下列几何体中， 属于棱柱的是 （ ） 3. 下列运算正确的是 （ ） A. （ π－3 ） 0 =1 B. a 3 ＋a 3 =a 6 C. x 9 ÷x 3 =x 3 D. （ a 3 ） 2 =a 5 4. 如图是由 5 个小立方块搭成的几何体的俯视图， 小正方形中的数字表示该位置上 的小立方块的个数， 则这个几何体的左视图是 （ ） 5. 要使分式 3-x x-2 有意义， 则 x 的取值范围是 （ ） A. x≠3 B. x≠0 C. x≠2 D. x≠-3 6. 关于 x ， y 的二元一次方程组 3x-4y=5-k ， 2x-y=2k+ # 3 的解满足 x-3y=10+k ， 则 k 的值是 （ ） A. 2 B. -2 C. -3 D. 3 7. 如图， 光在不同介质中的传播速度是不同的， 因此当光线从水 中射向空气时， 要发生折射 . 由于折射率相同， 所以在水中平行的光线 在空气中也是平行的 . 如图， ∠1=48° ， ∠2=158° ， 则 ∠3 的度数为 （ ） A. 68° B. 70° 模拟试题（二） 模拟试题 （二） A B C D 1 1 2 1 第 4 题图 A B C D 空气 2 3 水 1 第 7 题图 （本试卷共 23 道题， 满分 120 分， 考试时间 120 分钟） 197 参考答案与提示 大值 =2＋ 2 2 - （ 3 姨 ） 2 姨 =3 时， S △ABD 最大 =3 3 姨 . 18. 解： （ 1 ） AC 与 ⊙O 相切 . 理由： ∵AB=OA=OB ， ∴∠BOA=∠OAB=60°. ∵BC=BO ， ∴BC=BA. ∴∠C=∠CAB= 30°. ∴∠CAO=90°. ∴AC 与 ⊙O 相切 . （ 2 ） 存在点 D ， 使 AD=AC. ∵AC＜2OA ， ∴AD 小于直径， ∴ 存在点 D ， 使 AD=AC. 19. 解： （ 1 ） 过点 A 作 AE⊥BC ， 交 BC 于点 E． ∵AB=AC ， ∴ 直线 AE 垂直平分 BC. ∴ 点 O 在 AE 上 ． 又 ∵AP∥ BC ， ∴AE⊥AP． ∴AP 为 ⊙O 的切线 ． （ 2 ） ∵BE= 1 2 BC=4 ， ∴OE= OB 2 -BE 2 姨 =3． 又 ∵∠AOP=∠BOE ， ∴△OBE∽ △OPA． ∴ BE AP = OE OA ， 即 4 AP = 3 5 ． ∴AP= 20 3 . 20. 解： （ 1 ） 相等 . 理由： 连接 CO ， DO. ∵CM ， DN 是圆的切线， ∴∠MCO=∠NDO=90°. ∵CD∥MN ， ∴∠DCO= ∠COM ， ∠CDO=∠DON. ∵OC=OD ， ∴∠OCD=∠ODC. ∴∠COM=∠DON. ∴△COM≌△DON. ∴MO=NO. （ 2 ） ∵∠M= 30° ， ∠MCO=90° ， ∴MO=2CO ， ∠COM=60°. 同理 NO=2DO ， ∠DON=60°. ∴∠COD=60°. ∴CO=DO=CD. ∴MN=4CD. 21. 解： （ 1 ） ∵AD∥BC ， ∠ADC=120° ， ∴∠BCD=60° . 又 ∵AC 平分 ∠BCD ， ∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30° . ∴Ａ - Ｂ =Ａ - D =D - C . ∠B=60°． ∴∠BAC=90°. ∴BC 是圆的直径， BC=2AB． ∵ 四边形 ABCD 的周长为 10 ， ∴AB=AD=DC=2 ， BC=4． ∴ 此圆的半径为 2． （ 2 ） 设 BC 的中点为 O ， 由 （ 1 ） 可知 O 即为圆心 ． 连接 OA ， OD ， 过 O 作 OE⊥AD 于 点 E． 在 Rt△AOE 中 ， ∠AOE=30° . ∵OE=OA · cos 30°= 3 姨 ， ∴S △AOD = 1 2 ×2× 3 姨 = 3 姨 ． S 阴 影 =S 扇 形 AOD -S △OAD = 60×π×2 2 360 － 3 姨 = 2π 3 - 3 姨 . 22． 解： （ 1 ） ∠BFG=∠BGF. 理由： 连接 OD. ∵OD=OF ， ∴∠ODF=∠OFD. ∵⊙O 与 AC 相切于点 D ， ∴OD⊥ AC. 又 ∵∠C=90° ， ∴OD∥GC. ∴∠BGF=∠ODF. 又 ∵∠BFG=∠OFD ， ∠ODF=∠OFD ， ∴∠BFG=∠BGF. （ 2 ） 连 接 OE ， 则四边形 ODCE 为正方形 . ∵AC=BC=6 ， ∠ACB=90° ， ∴∠A=45°. ∴AD=OD=OE=DC=3. ∴AO=OB=3 2 姨 . ∵∠BFG=∠BGF ， ∴BG=BF=OB－OF=3 2 姨 -3. ∴CG=CB+BG=3 2 姨 +3. ∴S 阴影 =S △DCG - （ S 正方形 ODCE -S 扇形 ODE ） = 1 2 ×3× （ 3+ 3 2 姨 ） - 3 2 - 1 4 π · 3 - 3 2 = 9 4 π+ 9 2 姨 2 - 9 2 . 23. 解： （ 1 ） 4 5 6 （ 2 ） 不对 ． 理由： ∵OP =2 ， PQ=3 ， OQ=4 ， 且 4 2 ≠3 2 +2 2 ， 即 OQ 2 ≠PQ 2 +OP 2 ， ∴OP 与 PQ 不垂直 ． ∴PQ 与 ⊙O 不相切 ． （ 3 ） ① 3 ② 由 ① 知， 在 ⊙O 上存在点 P ， P′ 到 l 的最大距离为 3 ， 此时， OP 将不能再继续向左 （或向右） 转 动， 如图 ． OP 在绕点 O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是 POP′． 连接 P′P ， 交 OH 于点 D． ∵PQ ， P′Q′ 均与 l 垂直 ， 且 PQ=P′Q′=3 ， ∴ 四边形 PＱＱ′P′ 是矩形 ． ∴ QQ′∥ PP′. ∵OH ⊥l ， ∴OH⊥PＰ′. 又 ∵OP= OP′ ， ∴PD =P′D． 由 OP=2 ， OD=OH-HD=4－3=1 ， ∴cos∠DOP= OD OP = 1 2 . ∴∠DOP=60°． ∴∠POP′=120°． ∴ 所求最大圆心角的度数为 120°． 模拟试题 （一） 1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D 9. B 10. B 11. 2 12. 1 3 13. 3 3 姨 2 14. 8 3 15. 72° 或 67.5° 16. 解： （ 1 ） 原式 ＝9+ 3 姨 -1-12＝-4+ 3 姨 . （ 2 ） 原式 ＝ a 2 -3a+1 a + a a - 3 · a （ a+1 ）（ a-1 ） ＝ a 2 -2a+1 a · a （ a+1 ）（ a-1 ） ＝ （ a-1 ） 2 a · a （ a+1 ）（ a-1 ） ＝ a-1 a+1 . 17. 解： （ 1 ） 设每支 A 种型号的毛笔 x 元， 每支 B 种型号的毛笔 y 元， 由题意， 得 3x+y=22 ， 2x+3y=24 4 ， 解得 x=6 ， y=4 4 . 答： 每支 A 种型号的毛笔 6 元， 每支 B 种型号的毛笔 4 元 . （ 2 ） 设购买 A 种型号的毛笔 a 支， 由题意可得 6a+4 （ 80-a ） ≤420 ， 解得 a≤50. 答： 最多可以购买 50 支 A 种型号的毛笔 . 18. 解： （ 1 ） 把七年级 30 个学生的成绩从小到大排列， 第 15 和第 16 个数分别是 81 ， 85 ， 故中位数 m＝ 81+85 2 ＝83 ； 七年级 30 个学生的成绩中出现次数最多的是 85 ， 故众数 n＝85. （ 2 ） ① 正确， ② 正确 . 理由： 由题意可知， 样本中两个年级数据的平均数相同， 八年级数据的方差较小， 由 l O P Q′ H 第 23 题答图 Q D P′ 249 九年级下册 （北师大版）数学 此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小， 故 ① 说法正确； 若八年级小明同学的成绩是 84 分， 大于八年 级成绩的中位数， 所以可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩， 故 ② 说法正确 . （ 3 ） 600× 12+5 30 ＝340 （名） . 答： 七年级成绩优秀的学生人数大约为 340 名 . 19. 解： （ 1 ） 描出各点， 并连接， 如图 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 中图象可知该函数为一次函数， 设该函数的表达式为 y=kx+b ， ∵ 点 （ 1 ， 6 ）， （ 2 ， 10 ） 在该函数上， ∴ k+b=6 ， 2k+b=10 0 ， 解得 k=4 ， b=2 0 ， ∴y 与 x 的函数表达式为 y= 4x+2. （ 3 ） 当 y=12 时， 即 4x+2=12 ， 解得 x=2.5 ， 9+2.5=11.5. 答： 圆柱形容器液面高度达到 12 cm 时是上午 11:30. 20. 解： 如图， 过点 A 作 AH⊥FG 的延长线于点 H ， 由题意 知， AH＝3 ， AE＝5 ， AB＝ （ 8.8-0.8 ） ÷2＝4 ， AB⊥BE. 在 Rt△ABE 中， ∠ABE=90° ， sin∠AEB= AB AE = 4 5 . 由勾股定理得 BE= AE 2 -AB 2 姨 = 5 2 -4 2 姨 =3. ∵ 四边形 AEFG 是平行四边形， ∴AE∥GF ， AG∥EF. ∴∠AEB＝∠GFE ， ∠GFE＝∠HGA. ∴∠AEB＝∠HGA. ∴sin∠AEB＝ sin∠HGA. 在 Rt△AHG 中， sin∠AGH= AH AG ， 即 3 AG = 4 5 ， ∴AG= 15 4 . ∴ （ BC-BE ） ÷AG＝ （ 23-3 ） ÷ 15 4 ＝5 1 3 . ∴ 一侧最多可以设置停车位 5 个 . ∴ 矩形空地中最多可以设置停车位 10 个 . 21. （ 1 ） 证明： ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD＝∠EBD. ∵BD 是 ⊙O 的直径， ∴∠A=90°. ∴∠ABD+∠ADB=90°. ∵ ∠BFD=∠ADB ， ∠ABD=∠EBD ， ∴∠EBD+∠BFD=90°. ∴∠FDB=90°. ∴OD⊥DF. 又 ∵OD 是 ⊙O 的半径， ∴DF 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解： 如图， 连接 DC ， ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴AD＝DC＝4. 在 Rt△DCE 中， ∵DE＝5 ， ∴CE＝ DE 2 -CD 2 姨 ＝ 5 2 -4 2 姨 ＝3. ∵DE∥AB ， ∴∠ABD＝∠BDE. ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD＝ ∠DBC. ∴∠BDE＝∠DBE. ∴DE＝BE＝5. 在 Rt△DCB 中 ， DC＝4 ， CB＝CE+BE=8 ， ∴BD= BC 2 +CD 2 姨 = 4 2 +8 2 姨 =4 5 姨 . ∴sin∠CDB= BC BD = 8 4 5 姨 = 2 5 姨 5 . ∵BD 为直径， ∴∠BAD＝ ∠BCD＝90°. ∴∠DCF＝∠BAD＝90°. 由 （ 1 ） 知 ∠BDF＝90° ， ∴∠BDC+∠FDC＝90° ， ∠F+∠FDC＝ 90°. ∴∠F＝∠CDB. 在 Rt△DCF 中， DC＝4 ， ∵sin∠CDB=sin∠F= CD DF = 2 5 姨 5 . ∴DF＝2 5 姨 . 22. （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 设 DE 与 CF 的交点为 G ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A＝ ∠FDC＝90° ， AD＝CD. ∵DE⊥CF ， ∴∠DGF＝90°. ∴∠ADE+∠CFD＝90° ， ∠ADE+∠AED＝90°. ∴∠CFD＝∠AED. ∴△AED≌△DFC （ AAS ） . （ 2 ） 解： 如图 2 ， 设 DB 与 CE 交于点 G ， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠EDC＝90°. ∵CE⊥BD ， ∴∠DGC＝90°. ∴∠CDG+∠ECD＝90° ， ∠ADB+∠CDG＝90°. ∴∠ECD＝∠ADB. 又 ∵∠CDE＝∠A ， ∴△DEC∽△ABD. ∴ CE BD = DC AD = 4 7 . （ 3 ） 解 ： 如图 3 ， 过点 A 作 GA∥BC ， 延长 CF 交 AG 于点 G. 在 Rt△ABC 中 ， ∠ACB＝90° ， AC＝3 ， BC＝4 ， ∴AB= AC 2 +BC 2 姨 =5. ∵BF= 8 3 ， ∴AF=AB-BF= 7 3 . ∵GA∥BC ， ∴∠GAC＝∠ACB＝90° ， ∠GAF＝∠B ， ∠AGF＝∠BCF. ∴△AFG∽△BFC. ∴ AG BC ＝ AF BF = 7 3 8 3 = 7 8 . ∴AG= 7 8 BC= 7 2 . ∵CE⊥AD ， ∴∠CAE+∠ACE＝90°. 又 ∵∠CAE+∠ADC＝90° ， ∴∠ACG＝ ∠ADC. ∴△ACG∽△CDA. ∴ AC CD = AG AC . ∴CD＝ AC 2 AG ＝ 9 7 2 = 18 7 . 第 19 题答图 车位 5 m … 3 m 车位 … 安全空间 A B H G C D E F 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x/h y/cm 第 20 题答图 B O A D E C F 第 21 题答图 图 1 图 2 图 3 第 22 题答图 A D C B E F G A B E D C G E F C D B A G 250 参考答案与提示 23. 解： （ 1 ） ∵B （ 1 ， 2 ）， BC⊥y 轴交 y 轴于 C 点， ∴C （ 0 ， 2 ） . 将 A ， C 点代入 y＝x 2 +bx+ c ， ∴ 1+b+c=1 ， c=2 2 ， 解得 b=-2 ， c=2 2 . ∴ 抛物线的表达式为 y＝x 2 -2x+2. （ 2 ） 如图 1 ， 当 m＜0 时， 抛物线在矩形内部的 PC 段的 y 值随 x 的增大而减小 . 理由如下： 当 m＜0 ， 点 P 在第二象限， 即矩形 PFOE 在第二象限 . ∵ 抛物线开口向上， 且点 P 在点 C 左侧， ∴ 抛物线在矩形内部的 PC 段的 y 值随 x 的增大而减小 . （ 3 ） ①∵y＝x 2 -2x+2＝ （ x-1 ） 2 +1 ， ∴ 抛物线顶点为 （ 1 ， 1 ） . ∵P 点横坐标为 m ， ∴P （ m ， m 2 - 2m+2 ） . 当 m＞1 时， m 2 -2m+2＝2m. 解得 m＝2+ 2 姨 或 m＝2- 2 姨 （舍） . 当 0＜m≤1 时， 2m＝1 ， 解得 m＝ 1 2 . 综上所述， m＝ 1 2 或 m＝2+ 2 姨 . ② 由题可知 m＞0 且 m≠1 ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， A （ 1 ， 1 ）， ∴D （ 0 ， 1 ）， B （ 1 ， 2 ）， F （ 0 ， m 2 -2m+2 ） . ∴PF＝m ， FD＝m 2 -2m+1. 如图 2 ， 当 P 点在 A 点左侧， 即 0＜m＜1 时， l＝2 （ PF+ FD ） ＝2 （ m+m 2 -2m+1 ） ＝2m 2 -2m+2 ； 当 P 点在 A 点右侧， 即 1＜m＜2 时， l＝2 （ AD+FD ） ＝2 （ 1+m 2 - 2m+1 ） ＝2m 2 -4m+4. 模拟试题 （二） 1. C 2. D 3. A 4. D 5. C 6. B 7. B 8. A 9. D 10. C 11. x （ x-y ） 12. 0.5 13. （ 2 姨 ， 2 姨 ） 14. 10 3 15. （ 5×2 2 022 -1 ， 3 姨 ×2 2 022 ） 或 5 2 ×2 2 023 -1 ， 3 姨 2 ×2 2 02 2 ( 3 16. 解： （ 1 ） 原式 =10-16× 1 8 -2×7=10-2-14=-6. （ 2 ） 解不等式 ① ， 得 x≤-1 ； 解不等式 ② ， 得 x＜3. 不等式 ①② 的解集在数轴上表示为 ∴ 原不等式组的解集为 x≤-1. 17. 解： 设人工每人每小时分拣 x 件， 则每台机器每小时分拣 20x 件 . 根据题意得 6 000 20x - 6 000 5×20x =4. 解得 x=60. 经检验， 当 x=60 时， 100x≠0 ， ∴x=60 是方程的解， 且符合题意 . 答： 人工每人每小时分拣 60 件 . 18. 解： （ 1 ） 由条形统计图可得 2017 — 2022 年三种品牌扫地机器人销售总量最多的是 B 品牌 . 由折线统计图可得 2021 — 2022 年， A 品牌月平均销售量的增长率为 23.2-20 20 ×100%=16%. （ 2 ） 由统计图得 27.2×12 25% =1 305.6 ， 1-25%-29%-34%=12% ， ∴1 305.6×12%=156.672 （万台） . 答： 2022 年其他品牌的扫地机器人年销售总量是 156.672 万台 . （ 3 ） 答案不唯一， 例如： 建议购买 A 品牌， 因为 A 品牌近五年的月平均销售总量逐年稳步上升； 建议购买 B 品 牌， 因为 B 品牌的销售总量最多， 受到广大顾客的青睐； 建议购买 C 品牌， 因为 C 品牌 2022 年的市场占有率最高 . 19. 解： （ 1 ） 由函数图象得， 骑行 B 品牌共享电动车 10 min 后， 每分钟收费为 4-3 20-10 =0.1 （元） . （ 2 ） 设 A 品牌共享电动车收费 y 1 与骑行时间 x 之间的函数关系式为 y＝kx ， ∵ 点 （ 20 ， 4 ） 在该函数图象上， ∴20k＝4 ， 解得 k＝0.2 ， ∴A 品牌共享电动车收费 y 1 与骑行时间 x 之间的函数关系式为 y＝0.2x. （ 3 ） 由图可知， 两种收费相差 1.4 元时， 可能在 0 — 10 min 内或 20 min 以后 . ① 在 0 — 10 min 内时， 3-0.2x＝1.4. 解得 x＝8. ② 在 20 min 以后时， 0.2x- ［ 4+0.1 （ x-20 ）］ ＝1.4. 解得 x＝34. 因此 x 的值为 8 或 34. 20. 解： （ 1 ） 由题意得 NH⊥BC. 在 Rt△NEH 中 ， ∠NEC=66° ， NH=9 cm ， ∵sin∠NEH= NH NE ， ∴NE= NH sin66° ≈ 9 0.9 =10 （ cm ） . ∴ 支撑杆 NE 的长度约为 10 cm. （ 2 ） 如图， 过点 M 作 MP⊥BC ， 垂足为 P ， 由题意得 MF=NE=10 cm ， DG⊥ BC ， ∴MP∥DG. ∵ 点 M 是 CD 的中点 . ∴ 点 P 是 CG 的中点 . ∴MP 是 △CDG 的中位 线 . ∴DG=2MP. 在 Rt△MPF 中， ∠MFC=15° ， ∴MP=MF · sin15°≈10×0.26=2.6 （ cm ） . F y B C D A O x E P F y P B C D A O E x （ F ） （ P ） （ E ） 图 1 图 2 第 23 题答图 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 第 16 题答图 6 5 4 3 2 1 F B G D M N C HE A P 第 20 题答图 251