2022年 北师大版九年级数学中考复习 相似三角形综合压轴解答题 专题训练

2022年春北师大版九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴解答题》专题训练（附答案）

1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F．

（1）求证：BC平分∠ABF；

（2）求证：BC2＝2BF•BD；

（3）过点A作AG∥CE交FB的延长线于点G，连结CG，当BG＝，sin∠E＝时，求CG的长．

2．在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，连接BD，AC，直线BD交AC于点E，交OA于点F．

（1）特例发现：如图1，若OA＝OB，OC＝OD．推断：

①＝　   　；

②∠BEC的度数为 　   　．

（2）探究证明：如图2，若＝k，判断的值及∠BEC的度数，并说明理由．

（3）拓展延伸：在（2）的条件下：若OA＝6，OB＝8．

①将△OCD绕点O顺时针旋转，使点D与点E第一次重合，如图3，此时sin∠OAC＝，求OC的长；

②在点D与点E第一次重合后，若将①中得到的△OCD继续顺时针旋转，当点D在△AOB内部时，如图4，线段BE的长度是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，请说明理由．

 

3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．

（1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．

①求证：AE•AB＝AD•AC；

②求BF的长；

（2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．

 

 

4．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数；

（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；

（3）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

 

 

5．如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝k•AC，△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，BC与DE交于点F，直线BD与EC交于点G．

（1）求证：BD＝k•EC；

（2）求∠CGD的度数；

（3）若k＝1（如图②），求证：A，F，G三点在同一直线上．

6．【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为 　   　；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则的值为 　   　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】

（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，AB＝3，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处，得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为 　   　．