思维拓展05 利用基本不等式和函数解决三角形面积和周长、边的最值、范围问题（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 思维拓展05 利用基本不等式和函数解决三角形面积和周长、边的最值、范围问题（精讲+精练） 一、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 二、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 题型一：三角形面积的最值、范围问题 【例1】的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且， (1)求角A的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案. （2）结合余弦定理、基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）依题意， 由正弦定理得， 由于，所以，则. （2）由余弦定理得， 即，当且仅当时等号成立. 所以.即面积的最大值为. 【例2】在锐角中，，，分别是角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）若，求的面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简，可求，进而可求； （2）由正弦定理先求，然后结合三角形的面积公式及和差角，二倍角公式进行化简，在根据正弦函数的性质计算可得． 【详解】解：（1）由， 根据正弦定理得， 故， ∵，∴， 又∵，∴， （2）∵，故， ∴， 所以 ， 因为，所以， ∴，∴， ∴，故的面积的取值范围为． 一、解答题 1．（2024·全国·高一假期作业）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 2．（2023下·四川眉山·高一校联考期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若的周长为6，求面积S的最大值． 3．（2023下·广东广州·高一广州四十七中校考期中）在中，内角、、对边的边长分别是、、，已知． (1)若，且为钝角，求内角与的大小； (2)若，求面积的最大值． 4．（2024·全国·高一假期作业）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______． (1)求角； (2)求面积的取值范围． 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 5．（2023下·安徽六安·高一六安一中校考阶段练习）设锐角的内角所对的边分别为，已知. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求面积的取值范围. 6．（2023下·河南郑州·高一郑州外国语学校校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设． (1)求角A； (2)若，且AD＝2，求面积的最大值． 7．（2023下·江苏连云港·高一校考期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的最大值. 8．（2023下·广西·高一隆安县隆安中学校考期末）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，点、在边上，，求面积的最小值. 题型二：三角形的周长的最值、范围问题 【例1】在△ABC中，角A、B、C所对的边长是a、b、c，向量，且满足. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量的模长公式及余弦定理得到；（2）在第一问的基础上，利用余弦定理及基本不等式求出，从而求出△ABC的周长的最大值. 【详解】（1）由，得：，则，因为，所以； （2）由余弦定理得：，所以，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当时，等号成立，所以△ABC的周长的最大值为. 【例2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简得到所以，即可求解； （2）根据正弦定理得到，结合，化简得到三角形的周长，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 即，即，所以， 又因为，所以. （2）解：由正弦定理，可得， 所以三角形的周长， 因为，可得， 所以 ， 因为，可得，所以， 所以，故的周长的取值范围为. 一、解答题 1．（2023下·湖南岳阳·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为，.已知点的纵坐标为，点的横坐标为. (1)求的值