专题04 正方形的性质与判定【知识串讲+10大考点】-2023-2024学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题04 正方形的性质与判定 考点类型 知识一遍过 （一）正方形的性质 正方形的性质： 因为ABCD是正方形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等，对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA ∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC=BD AC⊥BD （二）正方体的判定 正方形的判定： 四边形ABCD是正方形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵AD=AB ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (2) ∵四边形ABCD是菱形 又∵∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (3)∵四边形ABCD是矩形 又∵AD=AB ∴四边形ABCD是正方形 考点一遍过 考点1：正方形的性质——求角度 典例1：（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，为正方形外一点，且是等边三角形，的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式1】（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，在正方形中，点F为上的一点，与交于点E．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，“笔尖”图案五边形由正方形和等边组成，连接，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式3】（2023下·甘肃定西·八年级统考期末）如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接，则（    ）    A． B． C． D． 考点2：正方形的性质——求线段 典例2：（福建省漳州市2023-2024学年九年级上学期期末（北师大版B卷）数学试题）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是（    ） A．4 B． C． D． 【变式1】（2024上·山东淄博·九年级校联考期末）如图，正方形的对角线，相交于点，过点作，分别交，于点，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式2】（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，正方形的边长为，点，，分别在边，上，，与交于点，点是的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考阶段练习）如图，在正方形中，，且，则的长为（    ）    A． B． C． D． 考点3：正方形的性质——求面积 典例3：（2023上·江西宜春·九年级宜春市第三中学校联考期中）如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2023上·福建三明·八年级统考期中）如图，有三个正方形，，，点，，，，都在同一直线上，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．11 【变式2】（2023上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考阶段练习）如图，已知边长为的正方形，为的中点，为的三等分点，则的面积是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．12 【变式3】（2023上·湖北武汉·八年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是，，那么的值是（    ）    A． B． C． D． 考点4：正方形的性质——证明题 典例4：（2024上·重庆合川·九年级统考期末）如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1】（2023·全国·八年级课堂例题）如图所示，两个正方形和，连接与，二者相交于点，连接．求证： (1)； (2)； (3)平分． 【变式2】（2023·广东茂名·三模）如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】（2023下·浙江·八年级专题练习）正方形中，对角线、交于点，为上一点，延长到点，使，连接、． (1)求证：． (2)求证：为直角三角形． (3)若，正方形的边长为，求的长． 考点5：正方形的性质——折叠问题 典例5：（2023下·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）如图，正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，求的长．    【变式1】（2023下·河北保定·八年级校考期中）如图，在正方形中，E是边上一点（不与B、C重合），将正方形沿折叠，使点B落在点F处，延长交于点G，连接．    (1)求证：； (2)若． ①求的周长： ②若点E是的中点，是的平分线，求的长 【变式2】（2