第02讲 平面向量的线性运算（3个知识点+4种题型+强化训练）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修二）

第02讲 平面向量的线性运算（3个知识点+4种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点一、向量加法 1．向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a. 2．向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋＝. 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b. 思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ [提示]　不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法． 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点二、向量减法 1．相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量． (2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0. 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． 思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|? [提示]　当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立． 知识点三、向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. (4) 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？ [提示]　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. 知识复习 题型一、向量的加法 一、单选题 1．在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024下·全国·高一专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）向量 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量表示“向东航行3km”，表示“向南航行3 km”，则表示 . 7．（2023·全国·高一随堂练习）化简： （1） ；            （2） ； （3） ；            （4） ． 三、解答题 8．（2023·全国·高一随堂练习）如果，那么A，B，C三点是否一定是一个三角形的三个顶点？ 9．（2024下·全国·高一专题练习）如图，已知、、，求作向量． 题型二、向量的减法 一、单选题 1．（2022上·江西·高三校联考阶段练习）对于非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）向量（    ） A． B． C． D． 3．（2024下·全国·高一专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 二、多选题 4．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．若、为相反向量，且，，则 ， . 6．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量与共线，且，则 ． 7．（2022·高一课时练习）如图所示，中心为O的正八边