思维拓展04 平面向量与极化恒等式及数量积、模长、夹角的最值范围问题（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 思维拓展04 平面向量与极化恒等式及数量积、模长、夹角的最值范围问题（精讲+精练） 一、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 题型一：极化恒等式 【例1】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .            【解析】 因为是上的两个三等分点,所以 联立解得:，所以 1.如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 2.已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A．[0，1] B． C．[1，2] D． 3.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.如图，已知点为的重心，，，则的值为 ． 5.正三角形内接于半径为2的圆O，E为线段上一动点，延长交圆O于点F，则的取值范围为_______. 6.已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 题型二：数量积的范围、最值 【例1】如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标来求解. 【详解】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，， 设，则， 所以，其中（，）， 所以的最大值为． 故选：A． 一、单选题 1．（2023下·山西运城·高一校联考期中）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·河南洛阳·高一统考期末）已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024下·全国·高一专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 5．（2023下·北京怀柔·高一统考期末）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·湖北黄冈·高一校考期中）如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 二、填空题 7．（2023下·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .    8．（2023下·山东临沂·高一统考期中）如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为 ．    9．（2023下·四川成都·高一统考期末）已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ． 10．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．    题型三：模长的范围、最值 【例1】已知 ，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意，构造圆的内接四边形， 转化为求圆内弦的最大值问题即可得解. 【详解】由题意可知：AB⊥BC，CD⊥AD，故四边形ABCD为圆内接四边形，如图， 且圆的直径为AC，由勾股定理可得， 因为BD为圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：故选：C. 一、单选题 1．如图所示，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最