第一讲：平面向量的线性运算（六大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第一讲：平面向量的线性运算 知识点填空 向量的线性运算 运 算 定义 法则 （或几何意义） 运算律（性质） 加 法 求两个向量和的运算 三角形法则(1): 平行四边形法则(2): 交换律(3)：________，并规定：；结合律(4):________；，当且仅当方向相同时等号成立 减 法 求两个向量差的运算(5) 数 乘 求实数λ与向量的积的运算 是一个向量，其长度：(6)＝ ； 其方向：(7)λ>0时，与方向 ；(8)λ<0时，与方向 ；λ＝0时，＝0 设λ，μ∈R，则 λ（μ）＝μ（λ）； （λ＋μ）＝λ＋μ； λ（＋）＝λ＋λ 【答案】 (1).(2)(3),(4) (5) (6) (7)相同 (8)相反 题型目录 题型一：平面向量的概念 题型二：平面向量的线性运算 题型三：平面向量的共线定理 题型四：平面向量在三角形中的应用 题型五：用共线定理求参数的值及参数的最值 题型六：用平面向量判断三角形的心 题型一：平面向量的概念 【典例例题】 例1.下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断； C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断； 【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误； 对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误； 对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确； 对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误. 故选：C. 【变式训练】 1.设为两个非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断 【详解】因为，所以同向共线，所以， 因为，所以同向共线，此时不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小，没有方向 B．若，，则 C．对任一向量，总是成立的 D． 【答案】D 【分析】对于A，根据零向量的定义可判断；对于B，根据向量平行的传递性可判断；对于C，举反例，即可判断；D，根据即可判断. 【详解】对于A，零向量的方向是任意方向的，A错误； 对于B，当时，与可以不平行，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 3.（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【答案】AD 【分析】根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案. 【详解】对于A，根据零向量的定义，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，当零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误； 对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线，故D正确. 故选：AD. 题型二：平面向量的线性运算 【典例例题】 例1.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形法则即可求. 【详解】以，为邻边作平行四边形，可知为所作平行四边形的对角线， 故由平行四边形法则可知对应的向量即所求向量． 故选：B 例2.下列各式中，化简后不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的加法、减法运算化简即可得解. 【解答过程】因为，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为，故D错误. 故选：B. 例3.在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 【变式训练】 1.已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 2．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（    ）    A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】运用平面向量基本定理，结合图象即可得到问题答案. 【详解】根据图象，    根据平面向量基本定理，可知：， 所以，， ， 故选：