第五讲：余弦、正弦定理的应用（六大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第五讲：余弦、正弦定理的应用 知识点填空 1.正弦定理、余弦定理 在中，若角所对的边分别是为外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 公式 ＝ ＝ . ， ， . 常见 变形 （3） （4） 2.三角形面积公式 S=___________=___________=___________. 【答案】 （1） （2） . （3） （4） （5），，. 2. 题型目录 题型一：余弦定理 题型二：正弦定理 题型三：三角面积 题型四：正、余弦定理有关最值问题 题型五：题型五：正弦、余弦定理的实例应用 题型六：三角形中线、角平分线的应用 题型一：余弦定理 【典例例题】 例1.在中，角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 【变式训练】 1.在边长为1的小正方形组成的网格中，如图所示，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， 由余弦定理，即， 解得，显然为锐角，所以， 所以. 故选：A 2.记的内角，，的对边分别为，，，若，，则 . 【答案】/ 【详解】因为，，由余弦定理， 所以，所以， 所以. 故答案为： 3.在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】根据余弦定理知， ， 所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选： 4.在中角所对边满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．6或 【答案】A 【解析】依题意，， 由余弦定理得 ，解得. 故选：A 题型二：正弦定理 【典例例题】 例1.在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（      ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：由正弦定理可得， 对于选项A，，，，有，∴，∴，故△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴，又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 【变式训练】 1.在中，角，，所对的边分别为，，． ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理，得， 因为，所以， 又，所以． 故选：C. 2.在中，角所对的边长分别为.若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为，则，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以或. 故选：D. 3.已知的外接圆半径为2，且内角满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由，， 得， 即，则， 由，解得， 由正弦定理知. 故选：D 4.中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的值为 . 【答案】2 【解析】解法一：由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 即. 解法二：由正弦定理得， ∴， ∴，又∵， ∴， ∴， 即. 故答案为：2. 题型三：三角面积 【典例例题】 例1.在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则， 即，解得. （2）由（1）可知：，且，可得， 由题意可知，即， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 【变式训练】 1.在中，内角､､所对的边分别是､､，已知，，的面积为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】，由正弦定理可知， ，可得， ，， ，解得：. 故选：C 2.在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以. 由，得， 所以. 故选：D 3.记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的正三角形的面积依次为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 即，， 由余弦定理得， 因为，所以 故选：B. 4.已知函数. (1)求的最小正周期； (2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1） ， 的最小正周期； （2）由，可得，又， ，， ， 由，得， 由余弦定理得：，得， 由正弦定理得外接圆的半径. 题型四：正、余弦定理有关最值问题 【典例例题】 例1.若锐