第三讲：平面向量的基本定理及其坐标表示（五大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第三节：平面向量的基本定理及其坐标表示 知识点填空 （1）平面向量的基本定理： （2）平面向量的坐标表示：已知,则=_______. （3）两个向量和（差）的坐标表示：已知向量=(,)，=(,)，则 +=________, -=__________ （4） 向量数乘的坐标表示：已知：=(x,y)，则=_________. （5） 平面向量长度（模）的坐标表示：若=(x,y)，则=______. （6） 两向量共线的坐标表示:已知=(,)，=(,)， 向量， (≠0)共线的充要条件是____________. （7） 夹角的坐标表示： 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==_________. （8） 垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则_______ 题型目录 题型一：平面向量的基本定理 题型二：平面向量的坐标表示的线性运算 题型三：平面向量的坐标表示的数量积运算 题型四：平面向量共线和垂直的坐标表示 题型五：建立直角坐标系 题型一：平面向量的基本定理 【典例例题】 例1.（多选）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是 D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 例2.如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1.（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 2.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 3.如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 题型二：平面向量的坐标表示的线性运算 【典例例题】 例1.若向量，，，则 . 【变式训练】 1.若向量，，则 . 2.已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 4.（多选）已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：平面向量的坐标表示的数量积运算 【典例例题】 例1.已知向量，且与的夹角为. (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【变式训练】 1.已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2.在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 3.（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量的坐标为 D．与垂直的单位向量的坐标为或 4.已知向量，且与的夹角为. (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 题型四：平面向量共线和垂直的坐标表示 【典例例题】 例1.在平面直角坐标系中，已知点． (1)当时，求的值； (2)分别求出使∥和的实数的值． 【变式训练】 1.已知向量，，若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C．6 D． 2.在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.已知向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 4．已知平面向量，满足，且，则（    ） A．4 B．5 C． D．2 题型五：建立直角坐标系 【典例例题】 例1向量，如图所示，求： (1)； (2)． 【变式训练】 1.在边长为的正方形中，是中点，则 ；若点在线段上运动，则的最小值是 . 2.如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ）    A． B． C． D． 3.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国，各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图