第二讲：平面向量的数量积运算（七大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

6.2.4平面向量的数量积运算 知识点填空 平面向量的数量积 （1）定义： ，规定 ； （2）向量夹角公式： （3） 向量模公式： （4）运算律 ①交换律： ；②结合律 ；③数乘： . （5）在方向上的投影向量是 ； （6））与垂直充要条件：________ 题型目录 题型一：平面向量的数量积运算 题型二：投影向量 题型三：平面向量的模公式 题型四：平面向量的夹角公式 题型五：平面向量的垂直条件 题型六：平面向量数量积最值问题 题型七：题型七：三角形“心”的应用 题型一：平面向量的数量积运算 【典例例题】 例1.如图所示，求出以下向量的数量积．    (1)； (2)； (3)． 【变式训练】 1.如图，已知，，的模均为4，且，则（    ） A．24 B．－24 C．8 D．－8 2.在中，若O为外接圆的圆心，则的值为（    ） A．-16 B．-8 C．8 D．16 3.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．16 4.已知，，与的夹角为，计算下列各式： (1)； (2)． 题型二：投影向量 【典例例题】 例1.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知向量，满足，且，与的夹角为，则 .在方向上的投影数量为 . 2.已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影数量为 ． 3.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4.已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5.在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影向量； (3)在方向上的投影的数量． 题型三：平面向量的模公式 【典例例题】 例1.已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练】 1.已知向量满足，则 ． 2.已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 3.设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知平面向量满足． (1)求与的夹角； (2)求在方向上的投影向量的模． 题型四：平面向量的夹角公式 【典例例题】 例1.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为 . 【变式训练】 1.已知向量，的夹角为，且，，当向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围为 . 2.已知向量，满足，，则向量与的夹角 ． 3.已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)求向量在方向上的投影的数量． 4.已知两向量的夹角为，． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 题型五：平面向量的垂直条件 【典例例题】 例1．已知非零向量满足，夹角的余弦值是，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 例2.若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式训练】 1.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2.已知O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若，则是（    ） A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形 C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形 3.（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为 B．若，则的值为 C．若，则与的夹角为锐角 D．若，则 4.已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ 题型六：平面向量数量积最值问题 【典例例题】 例1.已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知非零向量，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 2．在中，，点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D