5.1导数的概念与运算讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第一节 导数的概念与运算 知识清单 1．变化率问题 设物体在空中的位移与时间的函数关系为，运动时间为到． （1）平均速度 平均速度 （2）瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 当无限趋近于0时，平均速度就会趋近于物体在时刻的瞬时速度． 2．导数的概念 （1）函数的平均变化率 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到， 我们把比值叫做函数从到的平均变化率． （2）导数的概念 如果当，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率）． 记作或，即 （3）导函数 当时，是一个唯一确定的数，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作，即 （4）导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率， 即，切线方程为（点斜式）． （5）导数定义的其他表达式 ① ② ③ 3．基本初等函数的导数公式 （1）若（为常数），则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 （5）若，则，特别地，若，则 （6）若，则，特别地，若，则 4．导数的四则运算法则 （1）加减法： （2）乘法： ，特别地，（为常数） （3）除法： 5．简单复合函数的导数 一般的，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作． 则复合函数的导数为：，即． 题型训练 题型一 变化率 1．函数从到的平均变化率为（　　） A．2 B． C．3 D． 2．某物体的运动方程为，则该物体在时间上的平均速度为（　　） A． B． C． D． 3．函数在区间上的平均变化率等于（ ） A．2 B． C． D． 4．某物体位移与时间的关系式为，则物体在时的瞬时速度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 题型二 导数的概念 5．若函数在处可导，则（　　） A．与，都有关 B．仅与有关，而与无关 C．仅与有关，而与无关 D．与，均无关 6．若，则等于（ ） A．1 B．2 C． D．4 7．若，则（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12 8．设函数在处可导，则等于（　　） A． B． C． D． 题型三 导数的运算 9．已知函数的导函数为，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知函数，则（　　） A．2 B．4 C．3 D．1 11．（多选）若函数的导函数为奇函数，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 12．已知函数，若，则（　　） A． B． C． D． 13．已知函数的导函数是，且，则实数的值为（　　） A． B． C． D．1 14．已知函数的导函数为，且满足，则（　　） A．1 B． C． D． 15．已知函数，则　 　 16．导数的运算—加减法 （1），则 （2），则 （3），则 （4），则 17．导数的运算—乘除法 （1），则 （2），则 （3），则 （4），则 18．复合函数的导数 （1），则 （2），则 （3），则 （4），则 综合训练 1．已知函数，则 （　　） A．4 B．6 C．2 D．3 2．设函数在内可导，且，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数的导函数为，且满足，则（　　） A．1 B． C． D． 4．（多选）若函数可导，我们通常把其导函数的导数叫做的二阶导数，记作，则以下函数的二阶导数在区间上恒小于0的是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数，其导函数记为，则 （　　） A． B．3 C． D．2 6．设，若，则 7．已知函数，则 8．我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则　　 9．已知函数的导函数为，且满足，则 10．已知函数，则 第一节 导数的概念与运算参考答案 题型一 变化率