5.3.2导数与函数的最值讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五节 导数与函数的最值 知识清单 1．函数最值的定义 （1）函数在定义域内某点处的函数值记为． 若不小于函数定义域内各点处的函数值，即恒有，则称为函数在定义域内的最大值点，为函数在定义域内的最大值； 若不大于函数定义域内各点处的函数值，即恒有，则称为函数在定义域内的最小值点，为函数在定义域内的最小值． （2）一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数最值的步骤 一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在区间内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3．常见的不等式模型 （1）恒成立，恒成立 （2）有解，有解 （3）恒成立恒成立 （4）有解有解 双变量问题（为函数的定义域） （5），都有恒成立 （6），使得成立（先考虑任意） （7），使得成立（先考虑任意） （8），使得成立 （9），使得成立两个函数值域有交集 （10），使得成立的值域是的值域的子集 题型训练 题型一 求下列函数的最值 1． 2． 3． 4． 题型二 根据函数的最值求参数 5．已知函数，若对于区间上最大值为，最小值为，则（　　） A．20 B．18 C．3 D．0 6．已知函数在区间的最大值为3，则的值（ ） A．3 B．1 C．2 D． 7．已知在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（　　） A． B． C． D．以上都不对 8．函数，当时，恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．已知直线与函数的图象分别交于点，则当线段达到最小值时的值为（ ） A．1 B． C． D． 10．设函数在上的最大值为2，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型三 不等式恒成立求参数—参变分离法 11．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13．已知函数，，如果对于任意的， 都有 恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 14．已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 15．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 16．已知，当时，恒成立，则实数的取值范围为 17．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 18．已知，当时，恒成立，则实数的取值范围为 19．已知函数．若恒成立，求的取值范围． 20．已知函数．当时，，求的取值范围． 题型四 不等式恒成立求参数—单调性法 21．已知函数，若，求的取值范围． 22．已知函数，当时，，求的取值范围． 23．已知函数，当时，，求的取值范围． 24．设函数，当时，，求的取值范围． 题型五 不含参不等式的证明 25．已知函数，证明：． 26．已知函数，证明：当时， ． 27．已知函数，证明：当时，． 28．已知函数，证明：． 29．已知函数，证明：． 30．已知函数，证明：． 题型六 含参不等式的证明 对于含参的不等式，有以下两种常见思路 （1）根据参数范围讨论函数的单调性，然后找出函数的极值最值，从而证明不等式． （2）若能分离参数，先分离出参数，再根据参数的取值范围去证明不等式． 31．已知函数，证明：当时，． 32．已知函数，证明：当时，． 33．已知函数，证明：当时，． 34．已知函数，证明：当时，． 题型七 双变量不等式的证明 （1）可以对不等式的形式进行等价变换，然后构造新函数进行证明 （2）利用两个变量的等量关系或者换元法转换为一个变量的不等式，然后再进行证明 35．已知，证明：． 36．已知函数，证明：当时，． 37．已知函数，证明：当时，． 38．已知函数，若存在两个极值点，证明：． 第五节 导数与函数的最值参考答案 题型一 求下列函数的最值 1．最大值6，最小值 2．最大值，最小值1 3．最大值，最小值 4．最大值，最小值1 题型二 根据函数的最值求参数 5- 10 A，B，A，C，D，A 题型三 不等式恒成立求参数—参变分离法 11-14 D，A，C，C 15． 16． 17． 18． 19． 20． 题型四 不等式恒成立求参数—单调性法 21． 22． 23． 24． 题型五-题型七 略 学科网（北京）股份有限公司 $$