导数与函数的零点讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第六节 导数与函数的零点 一．三次函数的零点问题 已知三次函数的两个极值点及其求导后的二次函数的 ①若函数有3个零点，则有； ②若函数有2个零点，则有； ③若函数有1个零点，则有或者. 三次函数的图象一共有4种，注意数形结合 1．函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若函数与函数有3个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是 5．若函数在内有且只有一个零点，则 6．已知函数其中，若函数在区间内恰有 两个零点，则实数的取值范围是 7．设函数． （1）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件． 8．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 9．已知函数． （1）当时，求的极小值； （2）当时，讨论方程实根的个数． 10．已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 二．判断与证明零点的个数 （1）判断零点个数 先求导得到单调区间与极值，然后绘出函数的大致图象（注意判断图象是否穿过轴） （2）证明零点个数 先求导判断函数的单调性与极值，再利用函数零点存在定理确定零点的个数 1．函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数，证明存在唯一的零点． 4．已知，函数，证明在上有唯一零点． 5．已知函数，讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点． 6．设函数，其中． （1）若，讨论的单调性； （2）若，证明恰有两个零点． 三．根据零点个数求参数的取值范围 题型一 参变分离求零点 若能转换成（为参数）的形式，则可用与图象的交点的个数来求参数的取值范围.（也可分成一次函数与其他函数，利用切线方程来求解） 1．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数存在两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数与函数有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数与函数有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．若函数存在零点，则实数的取值范围是 6．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是 7．已知函数，若在只有一个零点，求． 8．已知函数，若有两个零点，求的取值范围． 题型二 求导讨论单调性求零点 若不能进行参变分离，或者分离比较麻烦时，可先求导后讨论函数的单调性，找出极值，再将极值与0进行比较，结合零点存在定理求参数. 1．已知函数．（正面讨论做） （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 2．设函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若没有零点，求的取值范围． 3．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 四．隐零点问题 解决隐零点问题的一般步骤 （1）求出导数的隐零点及其所在区间范围；（一般需二次求导求出导函数的单调性） （2）通过，得到一个关于的式子，然后求出极值；（一般将指对数换成幂函数） （3）最后通过的取值范围（可根据题目要求进行调整），求出的取值范围. 1．已知函数，证明：． 2．已知函数，证明：． 3．已知函数， （1）讨论的导函数零点的个数； （2）证明：当时，． 4．已知函数，且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 五．零点综合性问题 1．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点． ①； ②． 2．已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． 第六节 导数与函数的零点参考答案 一．三次函数的零点问题 1-3 CBB 4. 5. 6. 7.（1）；（2）略 8.（1）略 （2） 9.略 10.略 二．判断与证明零点的个数 1-2 CB 4-6略 三．根据零点个数求参数的取值范围 题型一．1-4 DBCD 5. 6. 7. 8. 题型二．略 四．略 五．略 学科网（北京）股份