5.3.1等比数列（一）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.3.1等比数列（一） 对于等差数列，我们已经进行了深入的认识和了解，那么，同学们会问：在我们的数列家族中除了等差数列外还有没有其他的数列呢？回答是明确的，还有其他很多特殊的数列，下面就让我们一起认识和学习一个新的数列——等比数列. 1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列.（重点） 2.掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.（难点） 探究点1：等比数列的定义 情境1：如图所示，有些细胞在分裂时，会中1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……， 这里细胞的个数构成数列 1，2，4，8，16，32，… ① 思考1：这个数列有什么特点？ 提示：后一次与前一次的比值都相等，且都等于定值2. 情境2：《庄子》中说“一尺之棰，日取其半，万事不竭.” 其意思是:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日之后木棒的长度构成数列 ，… ② 思考2：这个数列有什么特点？ 提示：后一次与前一次的比值都相等，且都等于定值. 情境3： 我们都知道，如果将钱存在银行里，那么将会获得利息，例如如果某年年初将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这5年中,每年年底的本息和构成数列 1000×1.03，1000× ，…，1000×. ③ 思考3：这个数列有什么特点？ 提示：后一次与前一次的比值都相等，且都等于定值1.03. 1，2，4，8，16，32，… ① ，… ② 1000×1.03，1000× ，…，1000×. ③ 追问： 让我们共同观察这四组数列，找出它们的共同特征是什么？类比等差数列的定义可归纳出什么结论？ 提示：通过观察，四个数列各项之间存在这样的共同特征： 数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 等比数列 类比等差数列的概念，给等比数列下个定义. 一般地，如果数列{}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即 恒成立，则称{}为等比数列，其中称为等比数列的公比. 等比数列的概念 公比 = 例如：数列① 1，2，4，8，16，32，…的公比是2. 例1.判断以下数列是否是等比数列？如果是，指出公比；如果不是，说明理由. （1）1，10，100，1000，10000；（2）0，1，2，4，8； （3）1，，，，. 【解析】(1)因为 , 所以是等比数列，且公比为10. (2)因为没有意义，所以不是等比数列. (3)因为 所以是等比数列，且公比为. 等比数列中任意项 探究点2：等比数列的通项公式 思考1：你能根据等差数列的特征写出探究1中数列①②③的通项公式吗？ 【提示】用{an}表示数列①，根据等比数列的定义， 故 ， ， ， 由此可知数列①的通项公式为： ······ 1，2，4，8，16，32，… … ① ，… ② 1000×1.03，1000× ，…，1000×. ③ 类似地，数列②的通项公式为： 数列③的通项公式为： c 思考2：如果等比数列的首项为,公比为，那么它的通项公式是怎样的？ 【提示】一般地，如果等比数列的首项为公比为那么根据等比数列的定义有 即,从而 …… 由此可归纳出等差数列的通项公式为 归纳法 另外，由等比数列的定义可得 ， ， …… ， ， 将这个式子两边分别相乘，则有 ， 即等比数列的通项公式为 累乘法 等比数列的通项公式 一般地,若等比数列{}的首项为,公比为，则通项公式为： （） 等比数列通项公式的关注点 (1)已知等比数列的首项和公比可以求得这个数列的任何一项. (2)在等比数列中，已知四个量（，，，）中的三个可以求得另一个. 例 2.已知等比数列{an} 的首项为a1 =27，公比. (1)求 ； (2)判断18是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 【解析】(1)根据等比数列的通项公式 ， ， （2）设18是数列中的第 项，则