4.4 数学归纳法（五大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法 知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 知识点二 数学归纳法的框图表示 【知识必备】 1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确定初始值. 2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法. 3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础. 例1．（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 例2．（2023下·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）（多选题）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．为等差数列 B． C． D． 例4．（2023上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期中）（多选题）已知数列的首项为，且满足，则以下说法正确的是（    ） A．数列的最大项为2 B．数列没有最小项 C．数列是递减数列 D．，都有 例5．（2023上·上海·高二期末）用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 例6．（2023下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为 . 例7．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 例8．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 例9．（2023上·高二课时练习）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． (1)设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． (2)设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 例10．（2021下·浙江嘉兴·高二校联考期中）设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4 数学归纳法 知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 知识点二 数学归纳法的框图表示 【知识必备】 1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确定初始值. 2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法. 3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础. 例1．（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【详解】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 例2．（2023下·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将时左边的等式除以时左边的等式即可得解. 【详解】解：当时，左边， 当时，左边， 所以左边应添加因式为 故选：B. 例3．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）（多选题）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．为等差数列 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A：根据的值进行分析判断；B：先表示出，根据表示的结果用数学归纳法证明的范围，由此判断出的正负；C：分析数列的单调性然后判断即可；D：令根据BC选项可得，进而可得结果. 【详解】对于A：由，即解得， 所以， 此时，所以不是等差数列，故A错误； 对于B： ， 因为，且，所以， 下面用数学归纳法证明：， 当时，， 设当时，， 当时，， 因为在上单调