微专题07 三角形中的范围与最值问题（九大题型）-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题07 三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五： 倍角问题 题型六：与正切有关的最值问题 题型七：最大角问题 题型八：三角形中的平方问题 题型九：等面积法、张角定理 【方法技巧与总结】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【典型例题】 题型一：周长问题 【例1】（2024·上海·高一开学考试）设的内角所对的边分别为，，，若，且，则的周长的取值范围是 ． 【变式1-1】（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）在中，，，则锐角周长的范围是 . 【变式1-2】（2024·河北保定·高一校联考期末）已知锐角内角及对边，满足. (1)求的大小； (2)若，求周长的取值范围. 题型二：面积问题 【例2】（2024·山东青岛·高一统考期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 【变式2-1】（2024·四川眉山·高一校联考期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若的周长为6，求面积S的最大值． 【变式2-2】（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长； (2)若为锐角三角形，求面积的范围. 题型三：长度问题 【例3】（2024·全国·高一假期作业）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． (1)求角C； (2)若，求的取值范围． 【变式3-1】（2024·上海·高一假期作业）锐角中，，，则的取值范围是 . 【变式3-2】（2024·全国·高一专题练习）已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 . 题型四：转化为角范围问题 【例4】（2024·河北秦皇岛·统考）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【变式4-1】（2024·辽宁沈阳·）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)判断的形状并给出证明； (2)若，求的取值范围． 【变式4-2】（2024·辽宁大连·高一大连八中校考期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． (1)判断的形状并给出证明； (2)若，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题型五： 倍角问题 【例5】（2024·湖南怀化·统考）已知是锐角三角形，分别是的对边.若，则的取值范围是 . 【变式5-1】（2024·安徽淮南·高三校考阶段练习）在中，角的对边分别是,若是锐角三角形且角，则的取值范围为 . 题型六：与正切有关的最值问题 【例6】（2024·陕西安康·高一校考期末）的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【变式6-1】（2024·湖北武汉·高一校联考期末）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 【变式6-2】（2024·浙江温州·高一校联考期末）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为 . 题型七：最大角问题 【例7】（2024·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根