7.1条件概率与全概率公式 知识点总结与题型讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

条件概率与全概率公式 目录 知识点一：事件的相互独立性 1 知识点二：条件概率 1 1.条件概率的定义 2 3.对条件概率的理解 2 知识点三：条件概率的三种求法 3 知识点四：全概率公式 3 知识点五：全概率公式的应用 3 知识点六：两个事件的全概率问题求解策略 4 知识点七：“化整为零”求多事件的全概率问题 4 题型一：独立事件的判断 4 题型二：独立事件的乘法公式 11 题型三：条件公式的计算 24 题型四：古典概型中的条件概率 39 题型五：条件概率中的产品合格问题 44 题型六：条件概率中的比赛问题 47 题型七：条件概率中的分配问题 51 题型八：条件概率中的医疗问题 55 题型九：条件概率中的排序问题 58 题型十：条件概率中的交通问题 59 题型十一：条件概率中的颜色问题 60 题型十二： 全概率公式的计算 60 题型十三：全概率公式 63 题型十四：全概率中的游戏获胜问题 73 题型十五：全概率中的普查疾病 77 题型十六：全概率中的根源问题 80 题型 条件概率和全概率公式的综合问题 83 知识点一：事件的相互独立性 （1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 知识点二：条件概率 条件概率是理解并进行复杂概率运算的基础，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的应用和拓展.条件概率的本质是缩小样本空间后的事件概率，通过古典概型(或其他概型)，抽象概括成条件概率的概念（定义式） 注：条件概率定义式反映了“原”样本空间的与缩小后的样本空间的之间的关系. 1.条件概率的定义 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2. P(B|A)与P(A|B)的区别 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 3.对条件概率的理解 条件概率概念的建立要抓住“事件”和“空间”进行分析，要分析“条件”是必然性还是“随机”性，是以“条件”重构的样本空间还是在原样本空间中运用“条件”.因此，“事件”“空间”和“条件”是概念建立的关键词. (1)对条件的理解：第一，从缩小样本空间的角度上看，在条件“已经发生”的基础上，样本空间缩小了，是在缩小了的空间上用概率模型或概率计算方法求解概率.第二，从概率之间的相互联系分析，在事件发生的条件下，事件发生的概率又与在原样本空间上事件发生的概率有关系，正因为此时的是事件在原样本空间发生的概率，因而事件在原样本空间里不是“必然发生”的事件，不是“发生过了”的事件，而是随机事件. (2)对和的分析.学生容易混淆和，认为它们都是“事件发生了，事件也发生了”，实际上，它们有着本质的区别.第一，前者指缩小样本空间后事件发生的概率，此时，事件已经发生了，以发生为条件重新组构样本空间.第二，后者指原样本空间上事件同时发生的概率，此时事件不一定是必然发生的事件，一般为随机事件.亦即，第一，它们的样本的空间不同，前者以事件发生为条件，缩小了样本空间即，后者是原来样本空间没有改变.第二，事件不同，前者是针对缩小样本空间后的事件，后者是针对原样本空间的事件. (3)注意“条件”的变化.条件概率中的“条件”具有相对性， ①. ①式中含两个式子，其“条件”不一样，说明在一个样本空间中，条件不是一成不变的，这在之后的乘法公式、贝叶斯公式中能够更好的体现. (4)条件概率的计算.条件概率一般有三种求法，一是原样本空间概率法，即定义式，二是缩小样本空间法，是指在缩小的样本空间上用古典概型或几何概型等计算，三是原样本空间计数法，即. (5)条件概率的性质.根据条件重构样本空间、缩小样本空间后“新”的样本空间上概率的性质即是条件概率的性质 特别说明： ①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替； ②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件； ③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率； ④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条