6.3 二项式定理十九种题型归纳知识点总结与题型讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项式定理知识点总结以及题型归类 目录 二项式定理知识点总结以及题型归类 1 知识点一：二项式定理 1 1、 定义 1 知识点二、二项展开式的通顶公式 2 知识点三：二顶式系数及其性质 2 知识点四：杨辉三角的应用 3 知识点五：求二项展开式的解题策略 3 知识点六：求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 4 知识点七：求三项展开式中某些特定项的系数的方法： 4 知识点八：赋值法的使用 4 知识点九：二项式系数与项的系数的区别 4 题型一：二项式的展开式 5 题型二：二项式定理的计算 5 题型三 求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 7 （一）求常数项 7 （二）求指定项系数 8 （三）求有理项 9 （四） 求参数 12 题型四： 求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型的展开式问题 14 题型五： 求形如(a+b+c)n(n∈N*)展开式中特定项 20 题型六： 求多个二项式的和或积展开式的问题 23 题型七： 二项式系数的和问题 25 题型八： 二项展开式中的系数的和问题 30 题型九： 二项式系数的最值问题 34 题型十： 项的系数的最值问题 37 题型十一：赋值法求奇次项与偶次项的和 39 题型十二：换元法求各项系数的和 42 题型十三：二项式定理的 整除和余数问题 43 题型十四： 近似计算问题 46 题型十五： 证明组合恒等式 48 题型十六： 杨辉三角问题 49 题型十七： 与导数的综合问题 54 题型十八 与数列的综合问题 55 题型十九 与函数的综合问题 60 【知识点梳理】 知识点一：二项式定理 1、 定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 归纳： 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理. 二项式 系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数. 通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n). 二项 展开式 Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式. 知识点二、二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 知识点三：二顶式系数及其性质 二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下： (1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由C＝C得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 注意： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 知识点四：杨辉三角的应用 杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论. (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数. 知识点五：求二项展开式的解题策略 求二项展开式有关问题的常见类型及解题