24.2.2 直线和圆的位置关系 （第3课时） 教学设计 2023—2024学年人教版九年级数学上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 （第3课时） 一、教学目标 【知识与技能】 理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 【过程与方法】 利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念. 【情感态度与价值观】 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 切线长定理及其应用. 【教学难点】 内切圆、内心的概念及运用. 五、课前准备 课件、图片、圆规、直尺等. 六、教学过程 （一）导入新课 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？（出示课件2） （二）探索新知 探究一 切线长定理及应用 教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？（出示课件4） 学生思考，尝试作图并解答． 出示课件5:出示定义: 切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． 教师问：切线长与切线的区别在哪里？ 学生思考后师生共同总结： ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 教师问：PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？（出示课件6） 学生思考后，尝试利用图形轴对称性解释. 教师归纳：（出示课件7） 切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何语言: ∵PA、PB分别切☉O于A、B， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. 出示课件8：已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 学生观察分析，合作交流后师生共同解答. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 教师问：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件9） 学生操作后观察得：OP垂直平分AB. 师生共同证明如下. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点, ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB. 教师问：若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件10） 学生操作后观察得：CA=CB. 师生共同证明如下. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC. ∴△PCA≌△PCB， ∴AC=BC. 出示课件11：例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC. 学生独立思考后师生共同解决如下. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H， ∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. 巩固练习：（出示课件12） PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60°,则OP= . 学生自主思考后口答：⑴5；⑵6. 出示课件13：例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 教师分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． 师生共同解答.（出示课件14） 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线， ∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， 即铁环的半径为 巩固练习：（出示课件15） 如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,