24.2.2 直线和圆的位置关系 （第2课时） 教学设计 2023—2024学年人教版九年级数学上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 （第2课时） 一、教学目标 【知识与技能】 能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。 【过程与方法】 经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯. 【情感态度与价值观】 体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 切线的判定定理及性质定理的探究和运用. 【教学难点】 切线的判定定理和性质的应用. 五、课前准备 课件、图片、圆规、直尺等. 六、教学过程 （一）导入新课 教师问：转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2） 学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的． （二）探索新知 探究一 切线的判定方法 教师问：如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4） 学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径． 由d=r得到直线l是⊙O的切线． 教师问：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5） 教师作图，学生观察并思考： （1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 出示课件6：教师归纳: 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 应用格式: ∵OA为⊙O的半径，BC⊥OA于A， ∴BC为⊙O的切线. 教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？（出示课件7） 学生观察交流后口答：(1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 教师强调：在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8） 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 出示课件9：例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 教师分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 师生共同解答： 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. 巩固练习：（出示课件10） 如图所示，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？ 学生独立思考后板演： 解：BD是⊙O 的切线． 连接OD,∵OD＝OA，∠A＝30°， ∴∠DOB＝60°. ∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°. ∴BD是⊙O 的切线． 出示课件11：例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 学生思考交流后师生共同解答. 证明：连接OC(如图). ∵OA＝OB,CA＝CB, ∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴AB⊥OC. ∵OC是⊙O的半径, ∴AB是⊙O的切线. 巩固练习：（出示课件12-13） 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线． 教师分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. 证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC. ∵⊙O与AB相切于E， ∴OE⊥AB. 又∵△ABC中，AB＝AC， O是BC的中点． ∴AO平分∠BAC， 又OE⊥AB，OF⊥AC. ∴OE＝OF. ∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC. ∴AC是⊙O的切线． 出示课件14：学生对比思考. 1.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. 学生答：连接OC. 2.如图，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. 学生答：作垂直. 教师归纳：（出示课件15） 证切线时辅助线的添加方法： (1)有交点，连半径,证垂直; (2)无交点，作垂直,证半径. 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论： (1