专题03新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（沪教版）

专题03�新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、新定义下的实数运算，中档题30题，难度三星 1．规定一种新运算． （1） ； （2）若，则的化简结果为 ． 2．若一个各个数位的数字均不为零的四位数M满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将－个间位等和数的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B，令，若四位数M的千位数为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则 ，如果为完全平方数（完全平方数就是这个数可以写成某个整数的平方，如，，所以4是完全平方数），那么M的最小值为 ． 3．若表示大于的最小整数，如，，则下列结论中正确的是_____（填写所有正确结论的序号）；的最小值是；的最大值是；成立． 4．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为． 例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________； (2)计算：的值； (3)若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求相异数y． 5．定义一种新的运算“※”，称为（加乘）运算： … (1)观察，归纳“※”运算法则：两数进行“※”运算时，同号 ，异号 ，再把 ；特别地，0与任何数进行“※”运算，或任何数与0进行“※”运算，结果为 ． (2)计算：； (3)已知，，，试判断A与B大小关系？并说明理由． 6．规定一种运算法则：.例如：. (1)求的值； (2)若，求的值. 7．定义一种新运算：，例如：．若，求x的值． 8．现定义运算“*”，满足：． (1)求的值． (2)先化简：，再求出当，时的值． 9．阅读：定义一种新的运算，取名为运算，按这种运算进行运算 的算式举例如下：①；②（﹣4）；③；④；⑤；⑥．问题： (1)【阅读归纳】请归纳运算的运算法则： 两数进行运算时， ；特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得 ． (2)【理解运用】计算：； 10．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“差积连续有理数对”，记为，如数对，，都是“差积连续有理数对”． (1)判断数对是否为“差积连续有理数对”，并说明理由； (2)若是“差积连续有理数对”，则当时，是“差积连续有理数对”吗？请说明理由． 11．已知，为实数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)任意选择两个实数，，分别计算和，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？ (3)对于实数、、，这种运算※是否满足结合律，请通过计算判断． 12．如果一个两位数的个位数字和十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位是为“跟斗数”．定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和，和与的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)_________． (2)若一个“跟斗数”“”的十位数字为，个位数字为，且．求“跟斗数”的值． (3)若，都是“跟斗数”，且，则是否为定值？若是，写出该值并用所学代数式知识说明理由． 13．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”．记作，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：__________，__________． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈次方等于__________． (3)计算． 14．对于任意实数a、b、c，定义关于“”的一种运算如下：．如． (1)求的值； (2)若，求的值． 15．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 （填序号）． ①29；②48；③13；④28． 探究问题： （2