专题02几何思想之等腰三角形的性质与判定（压轴难度题20道）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题02 几何思想之等腰三角形的性质与判定（压轴难度题20道）（原卷版） 一、单选题 1．（2024·安徽蚌埠·八年级统考期末）如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 2．（2024·全国·八年级竞赛）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（2024·四川成都·八年级统考期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 4．（2024·山东济南·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点在直线上，点在轴上，是等腰直角三角形．，如果点，那么的纵坐标是 ． 5．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在四边形ABCD中，，则四边形的周长为 ． 6．（2024·江西宜春·八年级统考期末）已知中，，（），若经过其中一个顶点的直线将分割成等腰三角形和直角三角形两部分，则的度数是 ． 三、解答题 7．（2024·湖南长沙·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，． 图1                      图2                         图3 (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当是以为腰的等腰三角形时，求运动时间t； (3)如图3，以为直角边往右上方作等腰直角，，再以为边往右上方作等边，使得，求线段的长度． 8．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在中，，平分．求证：． 9．（2024·四川成都·八年级统考期末）在中，，．点是所在平面内一点，且． (1)如图1，当点在边上，求证； (2)如图2，当点在外部，连接，若，，求线段的长； (3)如图3，当点在内部，连接，若，，求点到的距离． 10．（2024·江苏无锡·八年级统考期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）. (1)当t为何值时，为直角三角形？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？ 11．（2024·重庆渝北·八年级统考期末）如图，在中，，，是平面内两点， (1)如图1，若，，求的大小； (2)如图2，若，，交延长线于，求证：； (3)如图3，若，，，直接写出的面积． 12．（2024·湖南长沙·八年级校考期末）如图1，，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角．         图1               图2 (1)求C点的坐标； (2)在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使与全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，过M作轴于N，求出的值． 13．（2024·湖北鄂州·八年级统考期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 14．（2024·湖北黄石·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点、． (1)如图①，若a、b满足，判断的形状，并说明理由； (2)如图②，若即点A不变，点B在y轴正半轴上运动，以为直角边，作等腰直角，以为直角边，作等腰直角，连接交y轴与Q，当点B在y轴上运动时，试猜想的长是否为定值，若是，请求出来，若不是，说明理由； (3)如图③，若E点在x轴的正半轴上，且满足，于点G，交于点H，探究：的数量关系，并说明理由． 15．（2024·河北沧州·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，（不与点A重合）过点H作直线于H，分别交直线于点N、E．M． (1)如图1，判断与的数量关系并证明． (2)当直线经过点C时（如图2），求证：； (3)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系． 16．（2024·湖北十堰·八年级统考期末）在平面直角坐标