9.2.3：向量的数量积-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.2.3向量的数量积 【考点梳理】 考点一：向量的数量积的定义和几何意义 考点二：数量积的运算 考点三：数量积和模关系问题 考点四：向量夹角的计算 考点五：垂直关系的向量表示 考点六：已知模求参数或数量积问题 考点七：数量积的综合问题 【知识梳理】 知识点一　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点二　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点三　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点四　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点五　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数量积的定义和几何意义 1．（2023下·高一）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 2．（2023下·北京西城·高一北京师大附中校考期末）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（    ）    A．26 B．13 C．10 D．5 3．（2023下·四川凉山·高一校联考期中）已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A．4 B． C． D．2 题型二：数量积的运算 4．（2024下·全国·高一专题练习）已知方向相同，且，则等于（　　） A．16 B．256 C．8 D．64 5．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·天津和平·高一统考期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A．12 B．16 C． D． 题型三：数量积和模关系问题 7．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 8．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）在中，，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 9．（2023下·江苏南京·高一校考期中）已知向量满足，，则=（　　） A．-0.5 B． C．0 D．2.5 题型四：向量夹角的计算 10．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．（2023下·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型五：垂直关系的向量表示 13．（2024下·全国·高一专题练习）若向量、满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023下·江苏徐州·高一统考期末）已知向量，的夹角为，若，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·全国·高一专题练习）已知向量满足，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型六：已知模求参数或数量积问题 16．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 17．（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2023·全国·高一专题练习）两不共线的向量，，满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：数量积的综合问题 19．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值：