9.2.2：向量的数乘-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.2.2向量的数乘 【考点梳理】 考点一：向量数乘的运算 考点二：平面向量的混合运算 考点三：向量的线性运算的几何应用 考点四：三角形的心的向量表示 考点五：向量数乘的综合问题 【知识梳理】 知识点一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识点二　向量数乘的运算律 1 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【题型归纳】 题型一：向量数乘的运算 1．（2022·高一）下列计算正确的个数是（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022·全国·高一专题练习）已知m，n是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（    ） ①；②； ③若，则；④若，则m＝n. A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 3．（2023下·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 题型二：平面向量的混合运算 4．（2024下·全国·高一专题练习）下列运算正确的个数是（    ） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2023下·辽宁沈阳·高一统考期末）设是所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知中，为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型四：三角形的心的向量表示 10．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）若所在平面内一点P满足，则P是的（    ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 11．（2022下·山西运城·高一统考期末）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 12．（2022下·河南开封·高一校联考阶段练习）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 题型五：向量数乘的综合问题 13．（2023·高一课前预习）计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 14．（2023·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 15．（2023下·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.    【双基达标】 1、 单选题 16．（2024上·辽宁大连·高一期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 17．（2023下·全国·高一随堂练习）在中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 18．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 19．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向. (1)；(2)；(3). 20．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【高分突破】 一、单选题 21．（2024·全国·高一专题练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 22．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（    ） A． B． C． D． 23．（2023下·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（