检测评价(17) 正态分布（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十七） 正态分布 (一)基础落实 1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　 ) A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 解析：选B　由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 2．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<1)＝P(ξ≥7)＝0.2，则P(1<ξ<4)＝(　 ) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 解析：选C　因为P(ξ<1)＝P(ξ≥7)＝0.2，所以μ＝4，即正态曲线的对称轴为μ＝4，所以P(ξ<4)＝0.5，又P(ξ<1)＝0.2，所以P(1<ξ<4)＝0.5－0.2＝0.3. 3．如图，是当σ取不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的关系是(　 ) A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 解析：选D　由题图可知，此正态分布为标准正态分布，其函数的解析式为f(x)＝e， x∈R.对于正态分布密度曲线，其标准差σ反映该组数据的离散程度．σ越大，数据越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，数据越集中，曲线越“瘦高”．因而一定有0<σ1<σ2<σ3，又由f(x)＝e，x∈R知，当x＝0时，f(0)＝e＝e0＝.由图象知f(0)＝，则＝，所以σ2＝1. 4.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线f(x)＝e， x∈R，如图所示，则下列说法正确的是(　 ) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：选AC　由题图可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称．所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A正确，C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；因为乙图象的最高点为(0.8,1.99)，即＝1.99，故σ2≠1.99，故D错误． 5．(多选)已知在某次数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则该校学生成绩(　 ) 参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3. A．期望为110 B．及格率超过95% C．标准差为100 D．不及格的人数和优秀的人数大致相等 解析：选AB　因为学生的成绩服从正态分布N(110,100)，所以期望为110，标准差为10，故A正确，C错误；因为P(110－20<ξ<110＋20)＝P(90<ξ<130)＝0.954 5，所以P(ξ≥130)＝＝0.022 75，所以P(ξ≥90)＝0.022 75＋0.954 5＝0.977 25，故B正确；P(ξ<90)＝P(ξ≥130)＝0.022 75，因为P(110－10<ξ<110＋10)＝P(100<ξ<120)＝0.682 7，所以P(ξ≥120)＝＝0.158 65>0.022 75，所以D错误． 6．某品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命多于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________． 解析：由题意知P(ξ>2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，∴P(ξ≤2)＝P(ξ≥6)＝0.2，∴正态曲线的对称轴为直线μ＝4，∴P(ξ≥4)＝0.5，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为0.5×0.5＝0.25. 答案：0.25 7．某钢管销售商欲从钢管厂预定10 000根内径为20 mm的钢管，要求内径误差不得高于0.05.已知钢管内径(单位：mm)服从正态分布N(20，σ2)(σ>0)，技术人员通过对以往该类产品的数据分析，估计即将生产的钢管内径低于19.95 mm的钢管占钢管总数的，应生产的钢管根数至少应为________． 解析：由正态分布曲线的对称性，可得P(X<19.95)＝P(X>20.05)＝，所以P(19.95≤X≤20.05)＝1－＝，设应生产的钢管根数为x，则x＝10 000，解得x≈10 417. 答案：10 417 8．为了解高三学生复习备考情况，某校组织了一