检测评价(16) 超几何分布（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十六） 超几何分布 (一)基础落实 1．(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　 ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选BD　由题意知，＝，整理得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或a＝8. 2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个白球的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　从袋中任取10个球，共有C种，其中恰好有6个白球的有C·C种，故其中恰好有6个白球的概率为. 3．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　 ) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 解析：选B　由题意可知P(X＝1)＝，P(X＝0)＝，∴表示取得1个白球或者一个白球都没有取得即P(X≤1)． 4．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中随机抽取4个，则正品数比次品数少的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　由题意知有两种情况：0个正品、4个次品，1个正品、3个次品，由超几何分布的概率可知，取出0个正品、4个次品的概率为＝，取出1个正品、3个次品的概率为＝＝，所以所求概率为＋＝. 5．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)＝(　 ) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 解析：选B　由已知得X＝0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5. 6．一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为ξ，则随机变量ξ的期望为________． 解析：由题知，ξ的所有取值为0,1,2. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.所以随机变量ξ的期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1. 答案：1 7．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为________． 解析：设抽得次品数为X，则随机变量X的可能取值有0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 答案： 8．袋中有5个白球、3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率： (1)摸出2个或3个白球； (2)至少摸出1个白球； (3)至少摸出1个黑球． 解：(1)根据题意，设从中摸出白球的个数为X，则X服从超几何分布， 所以P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝，即摸出2个或3个白球的概率为. (2)由(1)得，P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝＋＋＝＋＋＝1，即至少摸出1个白球的概率为1. (3)因为摸出1个黑球等价于摸出3个白球，摸出2个黑球等价于摸出2个白球，摸出3个黑球等价于摸出1个白球，所以至少摸出1个黑球等价于X＝3,2,1. 又P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝，故至少摸出1个黑球的概率为. 9．某学校共有1 000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层随机抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”． (1)求a的值； (2)现采用分层随机抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)由题意知100×(0.001 5＋a＋0.002 5＋0.001 5＋0.001)＝1，解得a＝0.003 5. (2)由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3， P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (二)综合应用 10．某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示．把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则E(X)＝(　 ) 冰淇淋口味 草莓味 巧克力味 原味 销量/个 40