检测评价(12) 两点分布及离散型随机变量分布列的性质及应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十二） 两点分布及离散型随机变量分布列的性质及应用 (一)基础落实 1．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a的值为(　 ) A. B. C．110 D．55 解析：选B　由题意，得a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝. 2．设随机变量X的可能取值为1,2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是(　 ) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n不能确定 解析：选C　随机变量X的可能取值为1,2，…，n，并且取1,2，…，n是等可能的．所以P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，解得n＝10. 3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝mk(k＝1,2,3)，则m的值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×2＋m×3＝＝1，∴m＝. 4．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　“X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X＝3)＝＝＝.故选D. 5．一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色则停止抽取，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤2)＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　令X＝k表示前k个球为白球，第k＋1个球为红球，此时P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝××＝，则P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝. 6．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(X＝1)＝________. 解析：设不命中的概率为p， 则命中的概率为3p，p＋3p＝1，p＝. P(X＝1)是1次投篮中命中的概率， 即投篮命中率P(X＝1)＝. 答案： 7．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，则P(X＞1)＝________. 解析：依题意，P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝4)，由分布列性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，则4P(X＝2)＝1，即P(X＝2)＝，P(X＝3)＝P(X＝4)＝.∴P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝. 答案： 8．设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，i＝1，定义M(X)＝ipn＋1－i.若p1pn＝，则当n＝3时，M(X)的最大值为________． 解析：当n＝3时，p1p3＝， 则M(X)＝ip4－i＝p1p3＋p2p2＋p3p1＝2p1p3＋p＝＋[1－(p1＋p3)]2. ∵p1>0，p3>0，p1p3＝，∴p1＋p3≥2＝，当且仅当p1＝p3＝时，等号成立． ∴≤p1＋p3<1,0<1－(p1＋p3)≤. ∴M(X)≤＋2＝，即M(X)的最大值为. 答案： 9．已知随机变量X的分布列如表所示. X －2 －1 0 1 2 3 P (1)求随机变量Y＝X2的分布列； (2)若P(Y<x)＝，求实数x的取值范围． 解：(1)由随机变量X的分布列知，Y的可能取值为0,1,4,9，则P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝＋＝＝，P(Y＝4)＝＋＝＝，P(Y＝9)＝.可得随机变量Y的分布列如表所示. Y 0 1 4 9 P (2)∵P(Y<x)＝，∴P(Y<x)＝1－P(Y＝9)＝P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝4)，∴实数x的取值范围是(4,9]． (二)综合应用 10．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　 ) A. B. C．[－3,3] D．[0,1] 解析：选B　由题意，设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝，由解得－≤d≤.所以公差d的取值范围是. 11．(多选)“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X的所有可能取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，i＝1，定义X的“信息熵”H(X)＝－(pilog3pi)，则下列说法正确的是(