检测评价(25) 利用导数解决实际问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（二十五） 利用导数解决实际问题 (一)基础落实 1．某箱子的体积V与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0<x<60)，则当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为(　 ) A．30 B．40 C．50 D．55 解析：选B　由题意得V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，因为0<x<60，所以当0<x<40时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当40<x<60时，V′(x)<0，V(x)单调递减．所以V(40)是V(x)的最大值，即当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为40. 2．现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　 ) A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m 解析：选C　设水箱的底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.设所用材料的面积为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2，所以S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，当x∈(0,8)时，S′<0，当x∈(8，＋∞)时，S′>0，即x＝8时S取得最小值．因此当h＝＝4，即高为4 m时，所用材料最省． 3．张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件．已知原球形工件的半径为R，则张师傅的材料利用率的最大值等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设圆柱形工件的高为h，底面半径为r， 则圆柱形工件的体积为V(h)＝πr2h＝πh， 则V′(h)＝π，令V′(h)＝0得h＝R或－ R(舍)．当0<h<R时，V′(h)>0，当h>R时，V′(h)<0，所以当h＝R时，圆柱的体积最大，最大值为π· R·＝ R3，所以材料利用率为＝. 4．“如意金箍棒”是神话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器，大小可随意变化．假设其变化时形状始终保持为圆柱体，底面半径原为12 cm，且以1 cm/s等速率缩小，而长度以20 cm/s等速率增长．若“如意金箍棒”的底面半径从12 cm缩到4 cm的过程中，底面半径为10 cm时，体积最大，则其体积最小时底面半径为(　 ) A．7 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm 解析：选D　设“如意金箍棒”变化前的长度为a cm，t s时的体积为V(t)， 则V(t)＝π(12－t)2(a＋20t)，0≤t≤8. 所以V′(t)＝[－2(12－t)(a＋20t)＋20(12－t)2]π. 令12－t＝10，解得t＝2，因为当底面半径为10 cm时，V(t)最大，所以V′(2)＝0，得a＝60. 所以V(t)＝20π(12－t)2(3＋t)，0≤t≤8，V′(t)＝60π(t－12)(t－2)． 当V′(t)>0，即t∈(0,2)时，V(t)单调递增； 当V′(t)<0，即t∈(2,8)时，V(t)单调递减． 因为V(0)＝8 640π，V(8)＝3 520π，所以当t＝8时，V(t)有最小值3 520π，此时“如意金箍棒”的底面半径为4 cm. 5．某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C＝1 200＋x3，P＝，则总利润最大时，x＝(　 ) A．25 B．26 C．24 D．28 解析：选A　总利润L(x)＝x·－1 200－x3＝－x3＋500－1 200(x>0)， 由L′(x)＝－x2＋＝0，得x＝25. 令L′(x)>0，得0<x<25，令L′(x)<0，得x>25. 所以L(x)在(0,25)上单调递增，在(25，＋∞)上单调递减，故当x＝25时，总利润最大． 6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________． 解析：不妨设该圆柱形水桶的底面半径为r，其高为h，则由其容积为27π可得27π＝πr2×h，即h＝， 故该无盖圆柱形水桶的表面积S＝πr2＋2πrh＝πr2＋，令y＝πr2＋(r>0)，则y′＝，当0<r<3时，y′<0，此时该函数单调递减，当r>3时，y′>0，该函数单调递增，故当r＝3时，y＝πr2＋(r>0)取得最小值，也即该水桶用料最省． 答案：3 7．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________． 解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(x∈(0,4.8%))，故y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)，当0<x<0.032时，y′>0，当0.032<x<0.