检测评价(13) 数学归纳法（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（十三） 数学归纳法 1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(0<a<1，n≥1，n是正整数)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　 ) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：选C　当n＝1时，1＋a＋a2＝，在验证n＝1时，左边所得的项为1＋a＋a2. 2．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　 ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：选C　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故选C. 3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋>2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时等式成立，则还需利用假设再证(　 ) A．n＝k＋1时不等式成立 B．n＝k＋2时不等式成立 C．n＝2k＋2时不等式成立 D．n＝2(k＋2)时不等式成立 解析：选B　若已假设n＝k(k>2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n＝k＋2成立． 4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　 ) A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1] 解析：选B　根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，所以n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2. 5．(多选)下列结论能用数学归纳法证明的是(　 ) A．ex≥x＋1(x∈R) B．1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋) C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N＋) D．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R) 解析：选BC　数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知B、C能用数学归纳法证明． 6．(多选)以下四个命题，其中满足“假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的是(　 ) A．2n>2n＋1(n≥3) B．2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1) C．凸n边形的内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3) D．凸n边形的对角线条数g(n)＝(n≥4) 解析：选BC　对于A,2n>2n＋1(n≥3)，显然n＝3时有8>7，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；对于B，假设当n＝k时命题成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋2，当n＝k＋1时有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2＋2(k＋1)＝k2＋2k＋1＋k＋3＝(k＋1)2＋(k＋1)＋2，故当n＝k＋1时命题也成立，当n＝1时，等号左边为2，右边为1＋1＋2＝4,2≠4，所以当n＝1时命题不成立，故满足要求；对于C，假设当n＝k时命题成立，即f(k)＝(k－1)π，当n＝k＋1时有f(k＋1)＝f(k)＋π＝kπ，故当n＝k＋1时命题也成立，当n＝3时内角和为π命题不成立，故满足要求；对于D，假设当n＝k时命题成立，即g(k)＝，当n＝k＋1时有g(k＋1)＝g(k)＋k－1＝＋k－1＝≠，故不满足要求． 7．用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N＋，则当n＝k＋1时式子应当整理成________． 解析：当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3 ＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3 ＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)． 答案：42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2) 8．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1. 当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n∈N＋，等式成立． 上述证明中的错误是________． 解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的． 答案：没有用归纳假设 9．已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝