检测评价(3) 数列中的递推（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（三） 数列中的递推 (一)基础落实 1．数列{an}中an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　 ) A．－3 B．－11 C．－5 D．19 解析：选D　由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，所以a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19. 2．已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(　 ) A. B. C．2 D．3 解析：选A　由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝. 3．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是(　 ) A．an＝2n B．an＝ C．an＝n－1 D．an＝ 解析：选C　法一：由已知可知，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，∴an＝. 法二：an＝··…···a1＝n－1·1＝n－1. 4．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝pan＋q，a4＝15，则p，q的值分别为(　 ) A．－3,6 B．2,1 C．－3,6或2,1 D．－4,7 解析：选C　因为a1＝1，a2＝3，且an＋1＝pan＋q，所以a2＝pa1＋q＝p＋q＝3，a3＝pa2＋q＝3p＋q，a4＝pa3＋q＝p(3p＋q)＋q.又a4＝15，所以解得或 5．(多选)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，数列{an}的前n项积为Tn，则(　 ) A．a5＝ B．an＋3＝an C．T2 023＝－2 D．T2 020＝2 解析：选ABC　由题意知a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，a5＝1－＝，a6＝1－2＝－1.由此可知数列{an}是以3为周期的周期数列．即an＋3＝an，故T2 023＝a1·a2·a3·…·a2 022·a2 023＝(a1a2a3)674·a2 023＝－a2 023＝－a1＝－2. 6．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________． 解析：因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255. 答案：255 7．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________. 解析：由an＋1＝及a8＝2，得2＝，解得a7＝.由a7＝，得＝，解得a6＝－1.同理得a5＝2，a4＝，a3＝－1，a2＝2，a1＝. 答案： 8．数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，则a2等于________． 解析：由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an， 两式相减，得nan＋1－(n－1)an＝an. ∴当n≥3时，nan＋1＝nan，即an＋1＝an. 又a9＝8，∴a3＝8. 又2a3＝a1＋a2，a1＝7，∴a2＝2a3－a1＝9. 答案：9 9．根据下列条件，写出各数列的前4项，并归纳猜想数列的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N，n≥1)； (2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N，n≥1)； (3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N，n≥1)． 解：(1)∵a1＝0，∴a2＝a1＋2×1－1＝1，a3＝a2＋2×2－1＝4，a4＝a3＋2×3－1＝9，归纳猜想an＝(n－1)2. (2)∵a1＝1，∴a2＝a1＋＝，a3＝a2＋＝2，a4＝a3＋＝，归纳猜想an＝. (3)∵a1＝2，a2＝3，∴a3＝3a2－2a1＝5，a4＝3a3－2a2＝15－6＝9，归纳猜想an＝2n－1＋1. 10．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图乙的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图丙)，这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有an条边． (1)写出a1，a2的值； (2)求出数列{an}的递推公式． 解：(1)a1＝12，a2＝48. (2)由“雪花曲线”的作法可知，第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n＋1条“雪花曲线”的四条边． ∴an＋1＝4an，∴数列{an}的递推公式为an＋1＝4an. (二)综合应用 11．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 022＝(　 ) A．3 B．－3 C．6 D．－6 解析：选B　由题意知，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7