检测评价(2) 数列与函数的关系（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

“四翼”检测评价（二） 数列与函数的关系 (一)基础落实 1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　 ) A．1，，，，… B．sin，sin，sin，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 解析：选C　A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C. 2．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是(　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：选A　an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列． 3．已知数列{an}是递增数列，且其通项公式为an＝n2＋λn，则实数λ的取值范围是(　 ) A. B．[0，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 解析：选D　法一：由{an}是递增数列且an＝n2＋λn，得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ>0对n∈N＋恒成立，所以λ>[－(2n＋1)]max，即λ>－3. 法二：由{an}是递增数列得－<，解得λ>－3. 4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－2 023n(n∈N＋)，则当an最小时，n＝(　 ) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：选C　数列{an}中，an＝2n－2 023n，则an＋1－an＝2n－2 023，而210<2 023<211，于是当n≤10时，an＋1－an<0，即an＋1<an，当n≥11时，an＋1－an>0，即an＋1>an，因此当n∈N＋，n≤11时，数列{an}递减，当n≥11时，数列{an}递增，所以当且仅当n＝11时，an最小． 5．已知数列{an}满足an＝，n∈N＋，则该数列的最大值是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由an＝，得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.又an＝，n∈N＋，且y＝在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以{an}的最大值为a2＝a3＝. 6．若数列{an}的通项公式为an＝(k>0，且k为常数)，则该数列是________(填“递增”“递减”)数列． 解析：＝·＝<1.∵k>0，∴an>0， ∴an＋1<an，∴{an}是递减数列． 答案：递减 7. 已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________． 解析：因为an＝19－2n，且an>0，于是有19－2n>0，解得n<，而n∈N＋，则nmax＝9，所以符合条件的最大正整数n的值为9. 答案：9 8．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的最大项是第________项． 解析：an＝＝，当n>5且n∈N＋时，an>0，且数列递减；当n≤5且n∈N＋时，an<0，且数列递减．故当n＝6时，an最大． 答案：6 9．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性． 解：由题可知，数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，n∈N＋， ∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，…， 则数列{an}的图象如图所示，所以该数列既不是递增的，也不是递减的． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N，n≥1)， (1)依次写出数列{an}的前5项； (2)研究数列{an}的单调性，并求数列{an}的最大项和最小项． 解：(1)由题意，得a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝. (2)an＝＝＝1＋， 当n≤49时，an>0且{an}递增；当n≥50时，an≤0且{an}递增； ∴(an)max＝a49＝2；(an)min＝a50＝0. (二)综合应用 11．(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则(　 ) A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C．当0<a<4时，a是数列{an}中的项 D．当a<2时，{an}为递增数列 解析：选ABD　当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0<a<4时，Δ＝a2－4a<0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C错误；若{an}是递增数列，则an＋1>an，即n＋1＋>n＋，得a<n2＋n.又n2＋n≥2，所以a<2，D正确． 12．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N＋)，则此数列(　 ) A．图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象 B．是递减数列 C．从第3项往后各项均为负数 D．有两项为1 解析：选BC　由题意得an