课时跟踪检测(23) 直线与直线所成角及线面垂直的判定定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

5 / 5 课时跟踪检测（二十三） 直线与直线所成角及线面垂直的判定定理 A级——综合提能 1．(多选)下列条件中能推出l⊥α的有(　 ) A．直线l与平面α内一个三角形的两边垂直 B．直线l与平面α内一个梯形的两边垂直 C．直线l与平面α内无数条直线垂直 D．直线l与平面α内任意一条直线垂直 解析：选AD　由线面垂直的判定定理知A、D正确；对于B，当梯形的两边平行时，不能推出l⊥α；对于C，当无数条直线相互平行时，不能推出l⊥α.故选A、D. 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是(　 ) A．平面DD1C1C B．平面A1DB C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1 解析：选D　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D. 3.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　 ) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 解析：选C　∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l， 又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l， 又AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴l⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC. 4．(多选)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　 ) A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直 解析：选ACD　因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交，A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确． 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　如图，连接A1B，BC1，A1C1，易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，因此∠PBC1为异面直线PB与AD1所成的角．易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝.在正方形A1B1C1D1中，因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以∠PBC1＝∠A1BC1＝.故选D. 6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________． 解析：∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC. 又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB. ∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形． 答案：4 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________． 解析：因为BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1. 答案：线段B1C 8．如图所示，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝120°，则直线AD与BC所成的角为________． 解析：如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD＝BE，所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角．在△AOD中，AD＝2OAsin 60°＝2，在△CBE中，CB＝CE＝BE＝＝2，所以△CBE为正三角形，所以∠CBE＝60°，所以直线AD与BC所成的角为60°. 答案：60° 9．地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由． 解：如图所示，将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得AB＝0.8 m．截取绳子的长度，使得绳长为1 m．拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C，D处．测量BC与BD的长度，如果它们的长度都是0.6 m，那么直杆就和地面垂直． 这是因为在△ABC中， 如果AB＝0.8 m，AC＝1 m，BC＝0.6 m， 那么AB2＋BC2＝AC2， 所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC. 同理可知BD＝0.6 m时，有AB⊥BD. 又因为B，C，D三点不共线，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD，所以AB⊥平面BCD， 即直杆与地面垂直． 10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点． 求证：CD1⊥EF. 证明：取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝B