课时跟踪检测(6) 解三角形及其综合问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

5 / 5 课时跟踪检测（六） 解三角形及其综合问题 1．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A＝cos(B＋C)，且b＝2，c＝6，则a＝(　 ) A. B．2 C. D．2 解析：选D　cos 2A＝－cos A＝2cos2A－1， 即2cos2A＋cos A－1＝0，解得cos A＝－1(舍去)或cos A＝.△ABC中，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝28，得a＝2.故选D. 2．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为acos B－bcos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，则2sin Bcos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝，故选C. 3．(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝1，a2＋c2－b2＝ac，sin2B＝3sin Asin C，则(　 ) A．B＝ B．ac＝ C．△ABC的面积为 D．△ABC的周长为＋1 解析：选ABD　由a2＋c2－b2＝ac，有cos B＝＝，得B＝，选项A正确； 因为sin2B＝3sin Asin C，由正弦定理有b2＝3ac，b＝1，得ac＝，选项B正确； △ABC的面积为acsin B＝××＝，选项 C错误； 因为a2＋c2－b2＝ac，所以b2＝1＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，解得a＋c＝，故△ABC的周长为＋1，选项D正确．故选A、B、D. 4．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求三角形的面积．据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即S＝，其中p＝(a＋b＋c)．我国南宋著名数学家秦九韶也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是S＝. 这个公式中的Δ应该是(　 ) A.2 B. C. D. 解析：选C　由余弦定理知＝accos B，所以S＝casin B＝＝＝＝，所以Δ＝.故选C. 5．线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　设AB＝2，AD＝x，又AB＝AC，所以CD＝2－x.由黄金分割点的定义可得AD2＝AC·CD，即x2＝2·(2－x)，解得AD＝－1(负值已舍去). 在△ABD中，由余弦定理得cos 36°＝＝＝.故选B. 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________． 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．又∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，∴c＝2，a＝4，∴S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6. 答案：6 7.如图，无人机在离地面高300 m的A处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为________m. 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，∴AC＝AB＝300 m，又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∴∠AMC＝45°，在△AMC中，由正弦定理得MC＝＝300 m，∴ MN＝MCsin∠MCN＝300sin 60°＝450 m. 答案：450 8．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)(sin A－sin B)＝bsin C. (1)证明：A＝2B； (2)若a＝3，b＝2，求△ABC的面积． 解：(1)证明：因为(a＋b)(sin A－sin B)＝bsin C， 所以(a＋b)(a－b)＝bc，即a2－b2＝bc. cos B＝＝，2sin Acos B＝sin B＋sin C,2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)，sin(A－B)＝sin B， 所以A－B＋B＝2kπ＋π或A－B－B＝2kπ，k∈Z. 又A，B∈(0，π)，所以A＝2B. (2)由(1)得a2－b2＝bc，又a＝3，b＝2，所以c＝. 由余弦定理可得 cos C＝＝＝. 因为C∈(0，π)，所以sin C＝＝， 所以△ABC的面积S＝absin C＝×3×2×＝. 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为