课时跟踪检测(4) 余弦定理的综合应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

6 / 6 课时跟踪检测（四） 余弦定理的综合应用 A级——综合提能 1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C的值等于(　 ) A.　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：选D　由正弦定理可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 不妨设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)， 则由余弦定理，得cos C＝＝＝－. 2．在边长为6的菱形ABCD中，设＝a，＝b，A＝120°，则|a－b|＝(　 ) A．36 B．12 C．6 D．6 解析：选D　由题意，得|a－b|＝|－|＝||. 由余弦定理得DB2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝108，DB＝6.故|a－b|＝6. 3．在△ABC中，若A＝30°，b＝1，S△ABC＝，则的值为(　 ) A．2 B．2 C. D. 解析：选B　在△ABC中，设角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，由题知，S△ABC＝＝bcsin A．又∠A＝30°，b＝1，所以c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，解得a＝.所以由正弦定理得＝＝＝＝2，故选B. 4.在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的值为(　 ) A. B. C.＋1 D. 解析：选A　因为AD⊥AC，所以∠DAC＝90°.所以∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAD＋90°.又因为sin∠BAC＝，所以sin∠BAC＝sin(∠BAD＋90°)＝cos∠BAD＝.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝18＋9－24＝3，所以BD＝. 5．我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为________． 解析：设“圭田”的底边长为x，则由余弦定理可得x2＝42＋42－2×4×4×＝8，解得x＝2，即该“圭田”的底边长为2. 答案：2 6．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若＋＝，则B＝________. 解析：在△ABC中，由＋＝， 得1＋＋1＋＝3， 即c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，整理得a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝.而0°<B<180°，所以B＝60°. 答案：60° 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，则b的值为________． 解析：在△ABC中，因为sin Acos C＝3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理得a·＝3··c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2. 又a2－c2＝2b，所以4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍去)． 答案：4 8.如图，AM是△ABC中BC边上的中线，求证：AM＝ . 解：设∠AMB＝θ，则∠AMC＝π－θ， 设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 在△ABM中，cos θ＝ ＝. 在△AMC中，cos(π－θ) ＝＝， 所以cos θ＋cos(π－θ) ＝＋ ＝＝0， 即2AM2＋－c2－b2＝0. 所以AM＝ ＝ . 9．(2022·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 解：(1)由S1－S2＋S3＝，得(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2， 又a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1. 由sin B＝，得cos B＝或cos B＝－(舍去)，所以ac＝＝，则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝. (2)由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理得＝＝＝， 即b2＝×＝，得b＝. B级——应用创新 10．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，cos∠BAC＝，点D在BC边上且AD＝，则sin∠ADC＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　在△ABC中，BC＝ ＝＝3. 所以BA＝BC.所以∠BAC＝∠BCA. 所以sin∠BCA＝sin∠BAC＝＝. 在△ADC中，由正弦定理得，＝， 即＝，所以sin∠ADC＝. 11．(多选)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼