课时跟踪检测(3) 余弦定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

4 / 4 课时跟踪检测（三） 余弦定理 A级——综合提能 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　 ) A．1 B. C. D．3 解析：选D　由余弦定理，得cos 120°＝.化简，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝4，c＝3，则B＋C等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，而0<A<π，则A＝，所以B＋C＝π－A＝. 3．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则(　 ) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 解析：选AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°，故选A、D. 4．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 解析：选D　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D. 5．(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　 ) A．sin(B＋C)＝sin A B．cos(B＋C)＝cos A C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形 解析：选AC　依题意，△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，所以△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，所以△ABC为钝角三角形，D不正确．故选A、C. 6．在△ABC中，a＝8，c＝7，cos A＝，则b＝________，∠C＝________. 解析：由余弦定理可得64＝b2＋49－2×b×7×＝b2－2b＋49，故b2－2b－15＝0，故b＝－3(舍去)或b＝5，故cos∠C＝＝，而∠C为三角形内角，故∠C＝. 答案：5　 7．已知2,4，a是一个锐角三角形的三边长，请写出一个a的值______． 解析：因为2,4，a是一个锐角三角形的三边长， 所以解得2<a<2，任取一个a的值4. 答案：4(答案不唯一) 8．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长． 解：由得 ∴a＞b＞c.∴A＝120°. ∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°. 即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×， 即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10. 当b＝10时，a＝14，c＝6. 9．在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值． 解：由余弦定理，得cos B＝， 有＝，得a2＋c2＝ac＋4， 由a＋c＝6，得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36， 所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9， 所以解得a＝3，c＝3. B级——应用创新 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　 ) A．7.5 B．7 C．6 D．5 解析：选D　∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2.整理可得2c2＝2c3，解得c＝1.则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5. 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝，a＝4，则bc的最大值为(　 ) A. B．16 C. D．32 解析：选B　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为A＝，a＝4，所以16＝b2＋c2－bc.因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立． 12．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是________． 解析：∵在△ABC中，a＝8，b＝7，cos C＝，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C