课时跟踪检测(2) 正弦定理的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

6 / 6 课时跟踪检测（二） 正弦定理的应用 A级——综合提能 1．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B. 2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝(　 ) A. B．2 C．4 D．2 解析：选C　由题知△ABC的周长为a＋b＋c＝4(＋1)　①，∵sin B＋sin C＝sin A，由正弦定理得b＋c＝a　②，∴由①②，可得a＝4. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　 ) A. B．π C．2π D．4π 解析：选B　在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若<cos A，则△ABC为(　 ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 解析：选B　因为<cos A，由正弦定理可得<cos A，即sin C<cos Asin B．又因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin Acos B＋cos Asin B<cos Asin B，即sin Acos B<0.因为A，B∈(0，π)，所以sin A>0，cos B<0，所以B∈.所以△ABC为钝角三角形． 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(b－c)cos A＝acos C，则sin A＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为(b－c)cos A＝acos C，所以sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，即sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sin B．因为sin B≠0，所以cos A＝.因为sin A>0，所以sin A＝. 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则sin Bsin C的值为___________． 解析：因为S＝bcsin A＝，所以bc＝.由正弦定理得sin Bsin C＝＝. 答案： 7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A＋acos B＝0，则B＝______. 解析：由正弦定理可得，sin Bsin A＋sin Acos B＝0.∵A∈(0，π)，∴sin A>0.∴sin B＋cos B＝0，化简得tan B＝－1.∵B∈(0，π)，∴B＝. 答案： 8．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，∠BDC＝45°，则BD＝________. 解析：由题意，得AC＝＝5，sin∠ACB＝.又在△BCD中，∠BDC＝45°， ∴由正弦定理可得＝， 即＝，解得BD＝. 答案： 9．在△ABC中，已知b＋c＝＋1，B＝30°，三角形外接圆的面积为π，求C. 解：设△ABC外接圆的半径为r，因为△ABC外接圆的面积为π， 所以有πr2＝π⇒r＝1.由正弦定理可知，＝2r⇒b＝2×1×sin 30°＝2×1×＝1.因为b＋c＝＋1，所以c＝.由正弦定理可知，＝2r⇒sin C＝＝， 解得C＝45°或C＝135°. 10．设△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知2cos(π＋A)＋sin＋＝0. (1)求角A； (2)若c－b＝a，求证：△ABC是直角三角形． 解：(1)由2cos(π＋A)＋sin＋＝0， 得－2cos A＋cos 2A＋＝2cos2A－2cos A＋＝0， 即2＝0，故cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)证明：由正弦定理及c－b＝a， 得sin C－sin B＝sin A， 由(1)知A＝，故B＋C＝. 于是sin－sin B＝sin， 则cos B－sin B＝， 即cos＝. 因为0<B<，所以<B＋<. 又c－b＝a>0，C>B，从而B＋＝， 所以B＝，则C＝.因此△ABC是直角三角形． B级——应用创新 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知p：＝＝，q：△ABC是等腰三角形．则p是q的(　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条