课时跟踪检测(22) 余弦定理的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（二十二） 余弦定理的应用 1．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　 ) A．90° B．120° C．135° D．150° 解析：选B　在△ABC中，∵a＝3，b＝5，c＝， ∴最大角为B，最小角为A， ∴cos C＝＝＝，∴C＝60°， ∴A＋B＝120°， ∴△ABC中的最大角与最小角的和为120°. 故选B. 2．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　 ) A. B． C．－ D．－ 解析：选C　设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.∴cos A＝＝＝－.故选C. 3．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　 ) A．8 B．16 C．18 D．32 解析：选B　在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝65，即AB2＋AD2－2AB·AD·cos B＝65　①. 在△ABD中， BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝17②. 又cos A＋cos B＝0. ①＋②得AB2＋AD2＝41. 又AB＋AD＝9， ∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5. ∴cos A＝，A∈.∴sin A＝. ∴这个平行四边形的面积S＝5×4×＝16. 4．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S＝，这里p＝(a＋b＋c)，a，b，c分别为△ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知△ABC中，p＝12，c＝9，cos A＝，则该三角形内切圆半径为(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　∵p＝(a＋b＋c)，∴a＋b＋c＝24.又∵c＝9，∴a＋b＝24－c＝15. ∵cos A＝＝，∴＝. ∴(b－a)(b＋a)＋81＝12b.∴15(b－a)＋81＝12b.∴3b－15a＋81＝0.又∵a＋b＝15，∴a＝7，b＝8. ∴S＝＝12. ∴r＝＝＝. 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠ACB＝，角C的平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为(　 ) A．3 B． C. D．2 解析：选C　在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD， 即c2＝a2＋3－2a×cos＝a2＋3－3a. 在△DCA中，DA2＝CD2＋CA2－2CD·CA·cos∠DCA， 即c2＝3＋b2－2bcos＝3＋b2－3b. 由解得 6.如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里，则乙船每小时航行(　 ) A．10 海里 B．20 海里 C．30海里 D．30 海里 解析：选D　 如图，连接A1B2. 在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°， 又易求得A1A2＝30×＝10＝A2B2， ∴△A1A2B2为正三角形． ∴A1B2＝10. 在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°， ∴B1B＝400＋200－2×20×10×＝200， 即B1B2＝10. ∴乙船每小时航行30海里． 7.如图，△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________． 解析：∵sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD＝，∴根据余弦定理可得cos∠BAD＝， ∴＝，∴BD＝. 答案： 8.如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝________. 解析：依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m， 又CD＝50 m，所以在△ACD中， 由余弦定理得cos∠CAD＝ ＝＝. 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°. 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案：45° 9.在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD的长为__________． 解析：由余弦定理得， AB2＝BD2＋AD2－2AD·BDcos 135°， AC2＝CD2＋AD2－2AD·CDcos 45°， 即AB2＝BD2＋2＋2BD①， AC2＝CD2＋2－2