课时跟踪检测(18) 二倍角的三角函数（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（十八） 二倍角的三角函数 A级——综合提能 1．(多选)下列各式的值为1的是(　 ) A．4sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C.＋2sin215° D．sin22 020＋cos22 020 解析：选ACD　4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝1，A正确；cos215°－sin215°＝cos 30°＝，B错误；＋2sin215°＝＋1－cos 30°＝＋1－＝1，C正确；sin22 020＋cos22 020＝1，D正确．故选A、C、D. 2．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　∵3cos 2α－8cos α＝5， ∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)． ∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A. 3．已知tan α＝，则＝(　 ) A．5 B．－5 C. D．－ 解析：选A　＝＝＝＝＝5，故选A. 4．sin xcos x＋sin2x可化为(　 ) A.sin＋ B.sin－ C．sin＋ D．2sin＋1 解析：选A　原式＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝＋＝sin＋.故选A. 5．已知函数f(x)＝1－2sin2，则下列结论正确的是(　 ) A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)的最小正周期为2π C．函数f(x)的图象关于x＝－对称 D．f(1)>f(2) 解析：选C　f(x)＝1－2sin2＝cos＝－sin 2x，f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，A错误； 函数f(x)的最小正周期为＝π，B错误；f＝－sin＝1为函数的最大值，C正确；f(1)＝－sin 2<0，f(2)＝－sin 4>0，所以f(1)<f(2)，D错误．故选C. 6．已知sin 2α＝，则cos2＝________. 解析：cos2＝ ＝(1－sin 2α)＝. 答案： 7．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝ ＝＝＝. 答案： 8．已知tan x＝2，则tan＝________. 解析：∵tan x＝2，∴tan 2x＝＝－，tan＝tan＝＝＝－＝. 答案： 9．已知角α在第一象限且cos α＝，求 的值． 解：∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝. ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－， sin 2α＝2sin αcos α＝. ∴原式＝ ＝＝. 10．在△ABC中，求证： (1)sin2A＋sin2B－sin2C＝2sin Asin Bcos C； (2)sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos. 证明：(1)左边＝sin2A＋－＝sin2A＋(cos 2C－cos 2B) ＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C) ＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)] ＝sin(B＋C)·2sin Bcos C＝2sin Asin Bcos C＝右边， ∴原等式成立． (2)左边＝sin(B＋C)＋2sincos ＝2sincos＋2sincos ＝2cos ＝4sinsincos＝右边， ∴原等式成立． B级——应用创新 11．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选A　令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α. ∵cos α＝，0<α<π，∴sin α＝. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2××＝. 12．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos 72°，则＝(　 ) A．2 B．1 C. D. 解析：选C　∵a＝2cos 72°，∴a2＝4cos272°.∴4－a2＝4－4cos272°＝4sin272°.∴＝2sin 72°.∴a＝2cos 72°·2sin 72°＝2sin 144°＝2sin 36°.∴＝＝＝. 13．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________． 解析：∵α为锐角且cos＝>0， ∴α＋∈.∴sin＝. ∴sin＝sin ＝sincos－cossin ＝sincos－ ＝××－＝－＝. 答案： 14．求值：. 解：∵sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50°· ＝sin 50°·