课时跟踪检测(12) 向量应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（十二） 向量应用 A级——综合提能 1．某人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　 ) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D. 解析：选B　由向量加法法则可知，人骑自行车逆风行驶的速度为v1＋v2. 2．已知平面内作用于点O的三个力f1，f2，f3，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是(　 ) 解析：选D　因为f1＋f2＝－f3，所以f1与f2的合力与f3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足．故选D. 3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　 ) A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2 解析：选D　因为F1＋F2＝(1,2lg 2)，所以W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2. 4．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　 ) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析：选D　由题可知∥，||＝||，所以四边形ABCD是平行四边形．又⊥，故四边形为菱形． 5.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　 ) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选B　因为＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－. 6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________． 解析：由题意得，速度的大小为|v|＝＝， 又||＝＝3，故所用时间t＝＝3. 答案：3 7．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)．设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a)．因为AC⊥BC，所以⊥.所以·＝－1＋a2＝0，解得a＝1(负值舍去)． 答案：1 8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝2，则·的值是________． 解析：建立如图所示的坐标系，设DF＝x，由图可得A(0,0)，B(2,0)，E(2，)，F(x,2)，·＝(2,0)·(x,2)＝2x＝2， 即有x＝1.即F(1,2)，＝(－1,2)，则·＝(2，)·(－1，2)＝2×(－1)＋×2＝－2＋4＝2. 答案：2 9．已知两个力F1＝5i＋3j，F2＝－2i＋j，F1，F2作用于同一质点，使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m)．试求： (1)F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力F对质点所做的功． 解：(1)根据题意，F1＝5i＋3j＝(5,3)，F2＝－2i＋j＝(－2,1)，＝(12,15)， 故F1对该质点做的功W1＝F1·＝60＋45＝105(J)； F2对该质点做的功W2＝F2·＝－24＋15＝－9(J)． (2)根据题意，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(3,4)， 故F1，F2的合力F对该质点做的功W＝F·＝3×12＋4×15＝96(J)． 10．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．利用向量方法证明：AC⊥BD. 证明：法一：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.所以⊥，即AC⊥BD. 法二：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.因为＝－＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，＝＋＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，所以·＝c2－a2－b2＝0.所以⊥，即AC⊥BD. B级——应用创新 11．在梯形ABCD中，∥，⊥，||＝2，||＝2||.若点P在线段BC上，则|＋3|的最小值是(　 ) A. B．4 C. D．6 解析：选D　如图所示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系．则B(0,0)，A(0，2)，C(2d,0)，D(d,2)，P(p,0)(0≤p≤2d)，所以＝(2d－p,0)，＝(d－p,2)．所以＋3＝(5d－4p,6)．所以|＋3|＝≥6(当且仅当5d＝4p时等号成立)．所以|＋3|的最小值是6.故选D. 12．若非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　 ) A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 解析：选C　∵·＝0，∴∠A的角平分线与BC垂