课时跟踪检测(7) 平面向量数量积的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（七） 平面向量数量积的应用 A级——综合提能 1．已知a和b为非零向量，且|2a＋b|＝|2a－b|，a与b的夹角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为|2a＋b|＝|2a－b|，则|2a＋b|2＝|2a－b|2，即4a2＋4a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，所以a·b＝0，又因为a和b为非零向量，则a与b的夹角为. 2．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(b－a)，则|2a＋b|＝(　 ) A．4 B．2 C．3 D．12 解析：选B　∵a⊥(b－a)，∴a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝0， ∴a·b＝1，|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，∴|a＋b|＝2. 3．已知菱形ABCD的边长为2，·＝2，则||＝(　 ) A. B．2 C．1 D．2 解析：选B　根据题意可得＝＋，＝－， ∵·＝2，即·(＋)＝2＋·＝2，∴·＝－2， ||2＝(－)2＝2－2·＋2＝12，即||＝2，故选B. 4．已知平面向量a，b，c两两之间的夹角均相等，且a·b＝－1，b·c＝－2，c·a＝－3，则|a＋b＋c|＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　因为平面向量a，b，c两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，所以两两之间的夹角均为. 又|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝|a|2＋|b|2＋|c|2－12， 且a·b＝－＝－1，b·c＝－＝－2， c·a＝－＝－3， 解得|a|2＝3，|b|2＝，|c|2＝12. 所以|a＋b＋c|2＝.故|a＋b＋c|＝. 5．早在公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”．《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，斜边(弦)则为5”，勾股定理也称为商高定理．现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则(－)·＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选B　由题意可得AD＝＝，AD⊥BC，所以cos∠CAD＝＝＝，(－)·＝·＝cos∠CAD＝3××＝. 6．已知|a|＝2，|b|＝3，且a⊥b，则(a＋b)·(2a－b)＝________. 答案：－1 7．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|＝________. 解析：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3cos＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝. 答案： 8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________． 解析：|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5－2a·b＝7，∴a·b＝－1，又θ∈[0，π]， cos θ＝＝－，∴θ＝. 答案： 9.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，A是线段EF的中点，EF＝2.若与的夹角为60°，求·. 解：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.∵∠BAC＝90°， ∴·＝0. 又A是线段EF的中点，∴＝－，∴·＝·－·－2＝·－1＝4×1×cos 60°－1＝1. 10．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a，b的夹角为60°. (1)若(2a＋3b)⊥(a－kb)，求实数k的值； (2)求a＋b与a－b的夹角的余弦值． 解：(1)因为(2a＋3b)⊥(a－kb)， 所以(2a＋3b)·(a－kb)＝2a2＋(3－2k)a·b－3kb2＝2|a|2＋(3－2k)a·b－3k|b|2＝0， 即2＋(3－2k)×1×2×cos 60°－3k×4＝0，解得k＝. (2)因为|a＋b|＝＝＝＝， |a－b|＝＝＝＝， 所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝－， 故a＋b与a－b的夹角的余弦值为－. B级——应用创新 11．(多选)已知向量a，b的夹角为，|a|＝3，|b|＝1，t∈R，则(　 ) A．b在a方向上的投影向量的模为 B．a＋b在a方向上的投影向量的模为 C．|ta＋b|的最小值为 D．|ta＋b|取得最小值时，a⊥(ta＋b) 解析：选AD　b在a方向上的投影向量的模为|b|cos＝，故A正确； a＋b在a方向上的投影向量的模为＝＝＝，故B错误； |ta＋b|2＝t2a2＋2ta·b＋b2＝9t2＋2t×＋1＝9t2＋3t＋1＝92＋，当t＝－时，|ta＋b|取得最小值，此时a·＝ta2＋a·b＝9t＋＝9×＋＝0，即a⊥(ta＋b)，故C错误，D正确． 12．(多选)若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋