课时跟踪检测(6) 向量的数量积（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

课时跟踪检测（六） 向量的数量积 1．已知a，b是互相垂直的单位向量，若c＝a－2b，则b·c＝(　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选A　b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.故选A. 2．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影向量的模为(　 ) A．2 B. C．2 D．4 解析：选C　因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos 30°×＝4××＝b，所以a在b的方向上的投影向量的模为|b|＝2，故选C. 3．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　 ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选D　∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c， ∴a·c＝0，b·c＝0， ∴c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 4．已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为60°，则|3a－4b|＝(　 ) A．5 B．13 C．3 D. 解析：选D　|3a－4b|＝ ＝ ＝＝，故选D. 5．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉＝(　 ) A. B. C．－ D. 解析：选D　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，则c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2，即4＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋9＝16，从而12cos〈a，b〉＝3，解得cos〈a，b〉＝. 6．在四边形ABCD中，＝，且(＋)·(－)＝0，那么四边形ABCD为(　 ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：选C　由＝，可得四边形ABCD是平行四边形．由(＋)·(－)＝0，得2－2＝0，即2＝2，所以||＝||.所以四边形ABCD为菱形．故选C. 7．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，设m与n的夹角为θ，若cos θ＝，n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　 ) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：选B　由题意知，cos θ＝＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4. 8．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是(　 ) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 解析：选CD　分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确． 9．“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的(　 ) A．充分且不必要条件 　　　　 B．必要且不充分条件 C．充要条件 　　　　 D．既不充分又不必要条件 解析：选B　若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，所以a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|；若a·b＝|a||b|，则cosa，b＝1，即向量a，b方向相同，以及向量a，b平行．综上，“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的必要且不充分条件．故选B. 10．(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，下列结论正确的是(　 ) A．a是单位向量 B.∥b C．a·b＝1 D.⊥(4a＋b) 解析：选ABD　因为||＝2，＝2a，所以|a|＝＝1，即a是单位向量，所以A正确；因为＝－＝2a＋b－2a＝b，所以∥b, 所以B正确； 由＝2a＋b，得2＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2. 所以a·b＝－＝－1≠1, 所以C错误；因为＝b，·(4a＋b)＝b·(4a＋b)＝4a·b＋b2＝0，所以⊥(4a＋b), 所以D正确． 11．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 解析：由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，则2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10.故|2α＋β|＝. 答案： 12．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________. 解析：由题意得a·b＝|a||b|cos 45°＝. 因为向量ka－b与a垂直， 所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0， 解得k＝. 答案： 13．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)＝________. 解析：因为M是B